矩阵理论 课件 第2章第4-5节线性变换值域、核及不变子空间~线性空间的同构.pptx

2.4线性变换的值域、核及不变子空间

线性变换的值域、核及不变子空间

线性变换的值域与核

定义2.15设V是数域P上的线性空间，T是V上的线性变换，V中的所有向量在T下的像

的集合称为T的值域，记为R(T),即

R(T)={T(α)|α∈V}

所有被T变为零向量的原像构成的集合称为T的核，记为N(T),即

N(T)={α|T(aα)=θ,α∈V}

定理2.21线性空间V的线性变换T的值域与核都是V的子空间.

证因为θ=T(O)∈R(T),所以R(T)非空.对任意T(α),T(β)∈R(T),k∈P,都有

T(α)+T(β)=T(α+β)∈R(T)

kT(α)=T(ka)∈R(T)

从而，R(T)是V的子空间.由θ=T(θ)可知θ∈N(T),故N(T)非空.对任意α,β∈N(T),都有T(α)=T(β)=θ,此时

线性变换的值域、核及不变子空间

T(α+β)=T(α)+T(β)=θ

T(ka)=kT(α)=θ

即α+β∈N(T),ka∈N(T),故N(T)是V的子空间.

因此，我们把T的值域R(T)称为T的像子空间；将核N(T)称为T的核子空间或零化

空间；称R(T)的维数为T的秩，记为rank(T);称N(T)的维数为T的零度或亏度，记为null(T).

定理2.22设T是n维线性空间V的线性变换，α₁,a₂,…,αn是一个基，且T在此基下的矩

阵是A,则有以下结论.

(1)R(T)=span{T(a₁),T(α₂),…,T(αn)}.

(2)rank(T)=rank(A).

(3)rank(T)+null(T)=n.

证(1)因为T(α)∈R(T),所以

span{T(α₁),T(α₂),…,T(αn)}cR(T)

反之，对任意β∈R(T),存在α∈V,使β=T(α).设α=k₁α₁+k₂α₂+…+k,αn,则有

β=T(α)=k₁T(α₁)+k₂T(α₂)+…+k,T(α)∈span{T(α₁),T(α₂),…,T(αn)}

即R(T)Espan{T(α₁),T(α₂),…,T(αn)}.

(2)由(1)可知，rank(T)等于span{T(α₁),T(a₂),…,T(αn)}的维数，即等于

T(a₁),T(α₂),…,T(α)的秩.另外，注意到

(T(α₁),T(α₂),…,T(αn))=(α₁,a₂,…,αn)A

其中，矩阵A是由T(a₁),T(α₂),…,T(α)在基q,a₂,…,an下的坐标按列排成的，而线性空

间中的向量与其坐标之间的—一对应保持线性关系不变，因此T(a₁),T(a₂),…,T(α)与它们的坐标组(矩阵A的列向量组)有相同的秩.

(3)设null(T)=s,且α₁,a₂,…,as是N(T)的一个基，将其扩充成V的基α₁,a₂,…,ag,as+1…,an·

注意到T(a)=θ(i=1,2,…,s),于是

R(T)=span{T(α₁),T(α₂),…,T(αs),T(αs+1),…,T(αn)}=span{T(αs+1),T(αs+2),…,T(αn)}.

下面证明T(αs+1),T(αs+2),…,T(a)线性无关.设有P中的一组数k+1,k+2,…,k,,使得

ks+IT(α+1)+ks+₂T(αs+2)+…+k,T(αn)=θ

线性变换的值域、核及不变子空间

即T(k+α++…+k,αn)=θ,故k+1α+1+…+k,α∈N(T),从而，存在k,…,k,∈P,使得

ks+1αs+1+ks+2αs+2+…+k,αn=k₁a₁+k₂α₂+…+kα

即

-k₁α₁-k₂α₂-…-kα+ks+1αs+1+…+k,α=θ

由α₁,a₂,…,as,as+1,…αn线性无关可得k₁=k₂=…=k,=ks+1=…=kn=0,故

T(α+1),T(α+2),…,T(αn)线性无关.于是

rank(T)=dim(span{T(αs+1),T(α+2),…T(α)})=n-s=n-null(T)

注虽然rank(T)+null(T)=n=dim(V),但是R(T)+N(T)并不一定等于V.例如，在线性空间P[x],中，微分变换D(f(x))=f(x),R(D)=P[x],-1,N(D)=R.显然，

R(D)+N(D)≠P[x