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上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．直线的斜率为．

2．椭圆的长轴长为.

3．抛物线的准线方程为．

4．已知空间向量，，若，则实数的值为．

5．以为圆心且过点的圆的标准方程是．

6．已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为．

??

7．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则

8．已知圆与圆内切，则实数．

9．已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于．

10．已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为．

11．斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于.

12．已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为.

二、单选题

13．若直线经过第一、二、四象限，则（????）

A．且 B．且

C．且 D．且

14．平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（????）

A． B． C．1 D．

15．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为（????）

A．＝1 B．＝1

C．＝1 D．＝1

16．过原点的直线与双曲线交于两点,点在第二象限,将下半平面沿轴折起使之与上半平面成直二面角.则线段的最短长度为

A． B． C． D．4

三、解答题

17．已知三个顶点坐标分别为、、．

(1)求的面积S；

(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．

18．一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？

19．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程．

20．如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点.

(1)求证：平面BCD；

(2)求二面角的大小.

21．已知椭圆C：过点，且右焦点为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P．若，，求证：为定值．

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《上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

B

A

C

D

1．

【分析】将直线的一般式转换成斜截式即可求解.

【详解】由直线可得，则其斜率为.

故答案为：.

2．10

【分析】根据椭圆长轴长的定义可求.

【详解】由椭圆标准方程可知：，所以长轴长为10.

故答案为：10

3．

【分析】根据抛物线方程求出准线方程．

【详解】由抛物线，可得，

抛物线的准线方程为，

故答案为：．

4．

【分析】利用向量共线定理求解.

【详解】根据题意，因为，设，则有，

可得，所以.

故答案为：.

5．

【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可.

【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径，

所以圆的标准方程是.

故答案为：.

6．

【分析】根据空间向量的坐标表示可得.

【详解】由题意，故，，，

故，

故答案为：

7．11

【详解】由双曲线的方程，可得，

根据双曲线的定义可知，

又因为，所以.

8．

【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答.

【详解】，故圆心为，半径为1，

的圆心为，半径为2，

因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得.

故答案为：

9．

【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.

【详解】由题意，直线，则且，所以.

所以：与直线：之间的距离.

故答案为：.

10．

【分析】根据离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，根据斜率求出渐近线的倾斜角，即可求解.

【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，

所以，所以渐近线方程为，所以渐近线的倾斜角分别为与，

所以其两条渐近线的夹角大小为.

故答案为：

11．2或18

【解析】先求焦点坐标，再根据圆心到直