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2025届铜川市重点中学高三3月月考数学试题试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）

A． B． C． D．

2．若，，则的值为（）

A． B． C． D．

3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．

4．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）

A．7 B．6 C．5 D．4

5．已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)f(9-x2)的解集为（）

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)

6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）

A． B． C． D．

7．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：

（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；

（2）存在某个位置，使得；

（3）设二面角的平面角为，则；

（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．设集合，，则（）

A． B．

C． D．

9．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

10．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）

A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4

C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8

11．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（）

A． B． C． D．

12．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）

A．2 B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.

14．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.

15．已知等差数列满足，，则的值为________．

16．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程及的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到距离的取值范围.

18．（12分）己知，，.

（1）求证：；

（2）若，求证：.

19．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．

20．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

21．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．

22．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数的最大值为3，其中．

（1）求的值；

（2）若，，，求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D

【解析】

由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.

【详解】

因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，

，且时，单调递增，所以

在上单调递增，因为，

故有，解得.

故选：D.

本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.

2．A

【解析】

取，得到，取，则，计