2024-2025学年新疆乌鲁木齐市沙依巴克区四中高三下学期1月期末考试数学试题含解析.docVIP

2024-2025学年新疆乌鲁木齐市沙依巴克区四中高三下学期1月期末考试数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()

A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数

C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b

2．已知函数，若，则的最小值为（）

参考数据：

A． B． C． D．

3．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

4．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．若的展开式中的系数为150，则（）

A．20 B．15 C．10 D．25

6．已知复数满足，则的值为（）

A． B． C． D．2

7．关于函数，有下述三个结论：

①函数的一个周期为；

②函数在上单调递增；

③函数的值域为.

其中所有正确结论的编号是（）

A．①② B．② C．②③ D．③

8．设函数的定义域为，命题：，的否定是（）

A．， B．，

C．， D．，

9．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．设，则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

11．已知是边长为的正三角形，若，则

A． B．

C． D．

12．已知复数满足，其中为虚数单位，则（）．

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．

14．函数的极大值为________.

15．（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是____________．

16．设，满足约束条件，则的最大值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.

（1）求的极值点与极值.

（2）当，时，证明：.

18．（12分）在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

19．（12分）已知函数，设为的导数，．

（1）求，；

（2）猜想的表达式，并证明你的结论．

20．（12分）已知，求的最小值.

21．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.

（1）求使不等式成立的最大自然数n；

（2）记数列的前n项和为，求证：.

22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角

（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；

（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.

【详解】

依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有

，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.

故选：A

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．

2．A

【解析】

首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.

【详解】

由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.

故选：A

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

3．C

【解析】

以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，