5.3.2 函数的极值与最大 (小) 值（原卷版）.docx

5．3．2函数的极值与最大（小）值

【题型归纳目录】

题型一：求函数的极值

题型二：由极值求参数的值或取值范围

题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题

题型四：不含参函数的最值问题

题型五：含参函数的最值问题

题型六：由函数的最值求参数问题

题型七：导数在解决实际问题中的应用

题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题

题型九：利用导数研究恒成立问题

题型十：利用导数研究不等式问题

题型十一：利用导数证明不等式

题型十二：利用导数研究零点问题

【知识点梳理】

知识点一、函数的极值

（一）函数的极值的定义：

一般地，设函数在点及其附近有定义，

（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；

（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．

极大值与极小值统称极值．

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．

知识点诠释：

由函数的极值定义可知：

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．

（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

（二）用导数求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程的根；

④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）

知识点诠释：

①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．

②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．

知识点二、函数的最值

（一）函数的最大值与最小值定理

若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．

知识点诠释：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．

（二）求函数最值的的基本步骤：

若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数在内的导数；

（2）求方程在内的根；

（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．

知识点诠释：

①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．

②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．

（三）最值与极值的区别与联系

①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；

②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；

③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．

知识点三、函数极值与最值的简单应用

1、不等式恒成立，求参数范围问题．

一些含参不等式，一般形如，

若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．

若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．

2、证不等式问题．

当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．

3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）

一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，

我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．

【典型例题】

题型一：求函数的极值

例1．（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（????）

A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值

C．既有极小值又有极大值