移动平均过程MA(q).pptxVIP

§13.3移动平均过程MA(q)一、移动平均过程的概念设有无穷自回归过程(13.3.1)其中ut为白噪声，｜θ｜＜1。(13.3.1)的滞后算符形式(1+θL+θ2L2+θ3L3+…)yt=ut(13.3.2)因为(1+θL+θ2L2+θ3L3+…)-1=1-θL(13.3.3)

所以，(13.3.2)可以改写成(13.3.4)由(13.3.4)可以看出yt可以表示成两个白噪声的加权和。我们把由白噪声序列各元素的加权和表示的随机过程称为移动平均过程，过程中参数的数目称为移动平均过程的阶。q阶移动平均(MovingAverage)过程简记为MA(q)。它的形式是(13.3.5)

或写成更一般的形式：1(13.3.5)2显然,(13.3.4)便是一阶移动平均过程MA(1)，而且它可3以由无穷自回归过程(13.3.1)转换而成。4移动平均过程的可转换条件5在§13.2中，我们已经知道，自回归过程满足平稳条6件时，有限阶自回归过程(13.2.2)可以转化为无穷阶移7动平均过程(13.2.10)，即表示成白噪声序列各元素的8线性组合。9

那么,移动平均过程是否能转换为自回归过程?应该说，在一定条件下是可以转换的。为此我们把(13.3.5)改写成(13.3.6)引进算符多项式：(13.3.7)称为q阶移动平均算符。利用(13.3.7)可将(13.3.6)表示为(10.3.8)123456

或如果收敛，那么(13.3.9)式表示移动平均过程可以表示成自回归过程。与自回归过程讨论类似，收敛的充要条件是的特征方程：的所有的根的模大于1即｜z｜＞1，也就是这些根都在复单位圆的外面。这个条件称为移动平均过程的可转换条件。满足这个条件的移动平均过程称为可逆的(Invertible)。(13.3.9)(13.3.10)12345

01今后如果没有特别声明，我们总是假定所有移动平02均过程都是可逆。03这个结论的直接应用是，我们可以将阶数很高的自04回归过程近似地用阶数较低的移动平均过程来代替，05而将阶数很高的移动平均过程近似地用阶数较低的06自回归过程来代替，从而实现用尽可能少的参数来07构造随机过程模型的目的。

三、移动平均过程阶数的确定对于给定的样本，怎样为生成移动平均过程确定合适的阶数?为了回答这个问题，我们首先来研究反映移动平均过程特征的自相关函数。(一)自相关函数为了讨论方便，我们先研究MA(1)过程(13.3.11)因为ut和ut-1是白噪声，所以，它的期望值为(13.3.12)

协方差(13.3.14)(13.3.13)方差为

以上讨论表明(13.3.11)是平稳的。由于不01自相关函数为03(13.3.15)式表明MA(1)只有1期记忆，即当k＞1时05依赖时间t，而只依赖k，所以可以用表示。于是，02(13.3.15)04=0。06

(k=1，2，…，q)(13.3.18)04(13.3.17)03与MA(1)的推导过程类似，可得结果：02(13.3.16)01对MA(q)模型：

于是(13.3.19)对平稳过程，方差必须有限，因此要求，对无穷阶移动平均过程要求。这意味着的绝对值必须随q的增大而减少。

由(13.3.19)试算可以看出，MA(q)的也将随k的增大而减少，与自回归过程不同的是当k＞q时，ρk=0。这表明MA(q)只有q期记忆，即当k＞q时，ρk=0。(二)阶数的确定MA(q)只有q期记忆这一重要性质，可以帮助我们对模型进行识别。假设时间序列样本已经给定，我们便可利用(13.1.14)公式：(13.3.20)

(这里的已经中心化了，即=