9.1 因式分解 课件 冀教版（2024）数学七年级下册.pptx

第九章因式分解

9.1因式分解

一、学习目标

1.知道因式分解的概念；

2.能理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系；

3.能够解决与因式分解相关的几类问题.

二、新课导入

在小学，我们学过整数的因数分解，如9=3×3,28=2×2×7；

那么对于一个多项式是否也能进行类似地分解呢？

走进本课，答案即将揭晓！

三、概念剖析

在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如，

a2-2ab+b2=(a-b)2,

a2+2ab+b2=(a+b)2,

a2-b2=(a+b)(a-b),

na+nb+nc=n(a+b+c).

像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，

也叫做将多项式分解因式.

其中每个整式都叫做这个多项式的因式.

三、概念剖析

1.多项式相乘的结果是什么？

2.一个多项式进行因式分解的结果是什么？

多项式

几个整式乘积的形式

三、概念剖析

(1)(a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2；

(2)(x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).

(3)(x+y)(x-y)=x2-y2，x2-y2=(x+y)(x-y)

观察：多项式的乘法运算与多项式的因式分解之间有什么关系？

可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即

四、典型例题

解析：根据因式分解的概念，A，B选项的右边不是几个整式相乘的形式，

D项左右两边不相等，所以A，B，D选项不是因式分解；

只有C选项符合因式分解的定义．故选C.

C

四、典型例题

归纳总结：判断多项式变形是不是因式分解的方法：

1.看“形式”，即看等式右边是不是乘积的形式，

积中每一个因式是不是整式；

2.看“实质”，看左、右两边是否相等．

【当堂检测】

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B．x2+2x-1=(x+1)(x-1)+2x

C．m2-4m+4=m（m-4）+4

D．-6x2+3x=-3x(2x-1)

D

四、典型例题

例2.(1)观察下列多项式的因式分解，指出它们的各因式.

①a2-a=a(a-1)；②x2-4=(x+2)(x-2)；③x2+2x+1=(x+1)2.

解：①多项式a2-a的各因式分别是a和(a-1)；

③多项式x2+2x+1有两个相同的因式(x+1).

②多项式x2-4的各因式分别是(x+2)和(x-2)；

四、典型例题

例2.(2)请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里.

①3x+6=3()；②a2+ab=a().

③9x2-4=(3x+2)()；④x2+4x+4=(x+2)().

解：①(3x+6)÷3=x+2，故括号内应填：x+2；

②(a2+ab)÷a=a+b，故括号内应填：a+b；

③∵(3x+2)(3x-2)=9x2-4，∴括号内应填：3x-2；

④∵(x+2)2=x2+4x+4，∴括号内应填：x+2.

x+2

a+b

3x-2

x+2

四、典型例题

归纳总结：给出多项式一个因式确定另一个因式的方法：

1.若给出的因式为单项式，则考虑利用多项式除以单项式计算出另一个因式.

2.若给出的因式为多项式，则考虑利用乘法公式推理出另一个因式．

【当堂检测】

2.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里.

(1)2x+4=2()；(2)x-xy=x()；

(3)16x2-1=(4x+1)()；

(4)a2+6a+9=(a+3)().

x+2

1-y

4x-1

a+3

四、典型例题

例3.两个同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解

成(x＋1)(x＋5)；乙因看错了常数项而分解成(x－2)(x－4)．求原多项式.

分析：把(x+1)(x+5)展开，其中一次项系数错误，但二次项及常数项均正确，再把(x-2)(x-4)展开，其中常数项错误，但二次项和一次项均正确．两个式子结合可求这个二次三项式．

解：

所以这个二次三项式是x2－6x＋5.

因为甲：(x＋1)(x＋5)＝x2＋6x＋5，

乙：(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8，

四、典型例题

归纳总结：因式分解和整式乘法的关系：

多项式的因式分解与整式乘法是一个相反的变形过程，如果知道因式分解

的结果，那么可以利用整式乘法确定被分解的多项式．

【当堂检测】

3.若将x2+px-q分解因式的结果是(x-3)(x+5)，则p的值为()

A．-15B．-2

C．8D．2

D

五、课堂总结

因式分解的概念

把一个多项式分解成几个乘积的形式，