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第九章因式分解9.1因式分解
知识回顾质因数分解:如:要把12进行质因数分解,下列正确的是:()A.B.C.D.把一个合数化为几个质数的积的形式,这种变形叫质因数分解,也叫分解质因数。×:必需是积得形式×:没彻底分解完成×:这是整数的乘法√D
整数的乘法:质因数分解:互逆(运算过程正好相反)
想一想观察下面几个多项式的乘法算式:m(a+b)=ma+mb(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来,你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗?问题导入ma+mb=m(a+b)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2
观察下面计算20112-2011×2010和372-362的过程,哪种更简便?小亮的方法20112-2011×2010=2011×(2011-2010)=2011.372-362=(37+36)×(37-36)=73.获取新知知识点因式分解的概念1小明的方法20112-2011×2010=4044121-4042110=2011.372-362=1369-1296=73.
(1)小明用的什么方法?(2)小亮的第一个算式用了什么方法?(3)小亮的第二个算式用了什么方法?根据乘方的意义直接进行计算.乘法对加法的分配律的逆用.平方差公式.思考
(1)观察下面三个算式:x(x-2)=x2-2x,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x+1)2=x2+2x+1(2)上面三个算式能反过来,写成整式乘积的形式吗?可以:x2-2x=x(x-2),x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2x+1=(x+1)2.大家谈谈
像这样,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.概念认知
一起探究计算下列式子.(1)m(a+b-1)=;?(2)(m+4)(m-4)=;?(3)(y-3)2=;?根据上面的算式填空.(1)ma+mb-m=;?(2)m2-16=;?(3)y2-6y+9=.?因式分解与整式的乘法有什么关系?ma+mb-mm2-16y2-6y+9m(a+b-1)(m+4)(m-4)(y-3)2知识点因式分解与整式乘法的关系2
因式分解多项式乘法互逆关系(多项式)(几个整式乘积)多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积,而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见,多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程,如图所示.x2-y2(x+y)(x-y)归纳总结
试一试:1.下列各式中,从等号左边到右边的变形,哪些是多项式的因式分解?(1)x2-4=(x+2)(x-2);(2)x2+4x+4=(x+2)2;(3)7m+14n=7(m+2n);(4)x(y+1)=xy+x.(1)(2)(3)是,(4)不是.
2.下列对多项式的变形,哪些是因式分解?是因式分解的,指出它的各因式.(1)x2-x=x(x-1);(2)10x+5y=5(2x+y);(3)a2-1=(a+1)(a-1);(4)x2-2x+1=(x-1)2.(1)是,因式为x,x-1;(2)是,因式为5,2x+y;(3)是,因式为a+1,a-1;(4)是,因式为x-1,x-1.
例题解析例1对下列各式所进行的因式分解正确吗?如果不正确,请改正过来.解:(1),(3)正确,(2),(4)不正确,(2)改正为:-10x-10=-10(x+1);(4)改正为:m2+4m+4=(m+2)2.因式分解多项式乘法(多项式)(几个整式乘积)x2-y2(x+y)(x-y)
例2请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里:1-ya+34x-1x+2
1.下列各式中从左到右的变形属于因式分解的是()A.a(a+b-1)=a2+ab-a B.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x+1=x(2+)C随堂演练
2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2
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