3.2.1 函数的单调性（精讲）（解析版）.docxVIP

3.2.1函数的单调性（精讲）

考点一定义法判断单调性

【例1】（2022·全国·高一）证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增．

【答案】证明见解析

【解析】任取、，且，

则，

由于，∴，，

∴，即，故在上是增函数．

【一隅三反】

1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．

【答案】在区间上单调递增，证明见解析；

【解析】在区间上单调递增，

证明：设任意的、且，则

，

因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增；

2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.

【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析

【解析】(1)要使函数有意义，当且仅当.由得，

所以，函数的定义域为.

(2)函数在上单调递减.

证明：任取，，设，则

.

∵，∴，，

又，所以，故，即，

因此，函数在上单调递减.

3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数

（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；

（2）求在区间上的最值．

【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.

【解析】（1）在区间上单调递增

证明：任取，且

因为，，，所以，即

所以在区间上单调递增

（2）由（1）可得，在区间上单调递增

所以，

考点二性质法判断函数的单调性

【例2】（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．

对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．

对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．

对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．故选：D

【一隅三反】

1．（2022·全国·高一课时练习）函数的递减区间是()

A．???????B．???????C．???????D．

【答案】A

【解析】作出函数图象的图象，

由图象可知图象的减区间为故选：A

2．（2021·四川省）下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()

A．y＝x2－2 B．y＝

C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2

【答案】C

【解析】A中，因为y＝x2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A不对；

B中，因为y＝在（－∞，0）上为减函数，所以B不对；

C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上为增函数，故C正确；

D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在（-∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D不对．故选：C

3．（2022·湖北）函数的单调减区间为______.

【答案】、

【解析】由知，

即的定义域为，

作出的图像如图所示：

由图可知：的单调递减区间为和.故答案为：、.

考点三分离常数判断函数的单调性

【例3】．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是________.

【答案】，

【解析】；

的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，

然后沿轴向下平移一个单位得到；

而的单调增区间为，；

的单调增区间是，．

故答案为：，

【一隅三反】

1.（2022·鄂尔多斯市）函数（）

A．在内单调递增 B．在内单调递减

C．在内单调递增 D．在内单调递减

【答案】C

【解析】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，故选：C.

2．（2022·江西）函数f(x)=在（）

A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减

C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减

【答案】C

【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，

因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，

f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.

3．（2021·河南安阳市）函数

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在定义域内单调递减

【答案】B

【解析】因为数，所以，

因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.

考点四图像法判断函数的单调性

【例4】（2022·福建）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：

（1）；（2）；（3）（4）；（5）．

【答案】（1）减区间：和，值域：；

减区间：和，增区间：和，值域：；

增区间：和，减区间：，值域：；

减区间：和，增区间：和，值域：；

减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析

【解析】（1），图象如图所示：

函数在和为减函数.

因为，所以，故值域为：；

（2），图象如图所