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内蒙古赤峰市2025届高三下学期4.20模拟考试数学试题
一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1.在复平面内,复数对应的向量,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,
∴,
故选:D.
2.在等差数列中,,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
故选:D
3.已知函数,,则()
A.2 B.e C.3 D.
【答案】B
【解析】由解析式可得:,
所以,
所以,
故选:B
4.在的展开式中,的系数为15,则的值为()
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】二项展开式的通项,
因为的系数为15,所以,解得,.
故选:A.
5.如图,一个质量为的木块静止在与水平面成的斜坡上,已知重力加速度,重力方向竖直向下,以水平向右为轴,竖直向上为轴建立平面直角坐标系,那么重力在斜面正方向(斜面向下为正方向)上的投影向量为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为了方便运算,不妨以直角三角形的直角顶点为坐标顶点,
因为,则不影响一般性可设,
则,,则,取,
则重力在斜面正方向(斜面向下为正方向)上的投影向量为.
故选:C
6.已知函数满足:①在上单调递增;②,都有;③是偶函数,且,则的表达式为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数满足,可得为指数函数型,可排除C、D项;
又由是偶函数,且,
对于A中,若,则满足,函数为偶函数,
且,不符合题意,舍去;
对于B中,若,则满足,函数偶函数,
且,符合题意.
故选:B.
7.已知双曲线,若直线与没有公共点,则的离心率的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵渐近线方程为且的斜率为,
∴,则,∴离心率,又∵,
则离心率的取值范围为.
故选:C
8.已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形,则此三角形面积为()
A. B. C.2 D.3
【答案】D
【解析】先求交点,对于,有:,即,解得,.
再确定相邻三个交点,取相邻三个整数,
当时,得到交点.当时,得到交点.当时,得到交点.
最后判定直角三角形,已知向量,.
根据向量点积的坐标运算公式:所以.
令,即.解得
所以,同理.
因为该三角形为直角三角形,且两条直角边长度都为.
所以该三角形面积.
故选:D..
二、多项选择题:本题共3小题,每小题满分6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.一组数据,,,,满足,若去掉,后组成一组新数据,则新数据与原数据相比()
A.极差变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小
【答案】AC
【解析】由于,故,
A选项,原来极差为,去掉,后,极差为,极差变小,A正确;
B选项,原来的平均数为,
去掉,后的平均数为,平均数不变,B错误;
C选项,原来的方差为,
去掉,后的方差为,方差变小,C正确;
D选项,,从小到大排列,选第3个数作为第25百分位数,即,
去掉,后,,故从小到大排列,选择第2个数和第3个数的平均数作为第25百分位数,
即,由于,第25百分位数变大,D错误.
故选:AC
10.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形,做成一个无盖方盒,方盒的容积为,则下列说法正确的是()
A.()
B.方盒容积的最大值为
C.在区间上单调递增
D.当时,
【答案】ABD
【解析】由题意可知,无盖方盒底面是边长为的正方形,高为.
根据长方体体积公式,可得方盒容积,展开可得:
因为要能做成无盖方盒,则且,即,所以,故A选项正确.
对求导,可得:
令,即,解得,.
因为,所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
则在处取得极大值,也是最大值,,故B选项正确.
由上述求导分析可知,当时,,所以在区间上单调递减,故C选项错误.
当时,.易知.
所以,,,,.
一共有组和为的数对,再加上,则,故D选项正确.
故选:ABD.
11.如图,棱长为2的正方体,为底面的中心,为侧面的中心,是线段上的动点,为内(含边界)的动点,则下列说法正确的是()
A.平面 B.
C.最小值为 D.三棱锥的外接球的体积为
【答案】ABC
【解析】对于A,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系.已知正方体棱长为,则各点坐标为:,,,,.可得.
设平面的法向量为,,.
由,即,令,解得,,所以.
因为,所以,又平面,所以平面.故A正确.
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