6.1 幂函数（原卷版）.docx

6.1幂函数

TOC\o1-4\h\z\u6.1幂函数 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1幂函数的概念 2

知识点2幂函数的图象和性质 3

二、典型题型 4

题型1求幂函数解析式或参数值 5

题型2求幂函数相关的定义域和值域 7

题型3幂函数的单调性及其应用 9

三、难点题型 9

题型1由幂函数的单调性比较大小 11

题型2幂函数的奇偶性问题 13

题型3由幂函数的解不等式 14

四、活学活用培优训练 23

一．基础知识点

知识点1幂函数的概念：一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

例1（多选题）下列函数为幂函数的是（????）

A． B．

C． D．

例2已知幂函数的图象过点，则___________.

例3函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．

知识点2幂函数的图象和性质：

1．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：

2．幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪

(0，＋∞)

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪

(0，＋∞)

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非

偶函数

奇函数

单调性

在(－∞，＋∞)上单调递增

在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，＋∞)上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减

定点

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)

例1（多选题）下列结论中正确的是（????）

A．幂函数的图像都经过点，

B．幂函数的图像不经过第四象限

C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数

D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数

例2关于幂函数，下列命题正确的是___（填序号）．

①当时，图象是一条直线；?????????②图象都过点和；

③若是奇函数，则一定是增函数；????????④图象不可能出现在第四象限．

例3已知幂函数．

(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；

(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．

二．典型题型

题型1求幂函数解析式或参数值

解题技巧：1．幂函数y＝xα满足的三个特征

(1)幂xα前系数为1；

(2)底数只能是自变量x，指数是常数；

(3)项数只有一项．

2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.

例1（多选题）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（????）

A．5 B．1 C．2 D．4

例2若函数是幂函数，满足，则_________．

例3幂函数在区间上是增函数，求实数的取值集合．

题型2求幂函数相关的定义域和值域

解题技巧：

例1（多选题）下列说法中错误的是（????）

A．幂函数的图象不经过第四象限

B．的图象是一条直线

C．若函数的定义域为，则它的值域为

D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是

例21）函数的定义域是________，值域是________；

（2）函数的定义域是________，值域是________；

（3）函数的定义域是________，值域是________；

（4）函数的定义域是________，值域是________．

例3求函数的定义域和值域．

题型3幂函数的单调性及其应用

解题技巧：1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法

(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；

(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．

2．幂函数在第一象限的图象与性质

(1)α0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．

(2)α0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．

3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律

(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；

(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

例1（多选题）已知函数，则下列结论中错误的是（????）

A．的值域为

B．是单调函数

C．是偶函数

D．的图像与直线有两个交点

例2已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．

例3求函数的单调区间.

三．难点题型

题型1由幂函数的单调性比较大小

解题技巧：比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数

(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；

(2)若指数与