黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试题

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黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数，则（）

A B.10 C. D.20

【答案】A

【解析】．

故选：A．

2.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，则A，B两点到平面的距离相等，

但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧，

且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．

故选：B．

3.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（）

A.90 B.88 C.82 D.76

【答案】A

【解析】将数据从小到大排列：55，64，67，76，76，88，90，92，

又，所以这组数据的第百分位数是.

故选：A.

4.在中，角的对边分别为，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由余弦定理得，

因为，所以.

故选：C.

5.已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，且，所以，即夹角为.

故选：C.

6.已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图），，

由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故，

所以，

所以为外接球的半径，故外接球表面积为.

故选：D.

7.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，

共6种，其中偶数有，共4种，

所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．

故选：C．

8.在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，

由正弦定理得，所以，

所以，

由余弦定理得

，

当且仅当，即时，等号成立，所以，

所以当时，取得最大值，

此时，

所以的最大值是．

故选：D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.

B.复数的虚部为5

C.若复数满足，则

D.若复数满足，则的最大值为3

【答案】AD

【解析】对于A，，故A正确；

对于B，复数的虚部为-5，故B错误；

对于C，设，则，而，

故C错误；

对于D，因为，所以，

所以的最大值为3，故D正确.

故选：AD.

10.在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（）

A.当时，有两解

B.当时，有一解

C.当时，无解

D.当时，有两解

【答案】AC

【解析】对于A，由正弦定理得，即，所以，

又因为，所以或，有两解，故A正确；

对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；

对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；

对于D，由正弦定理得，

又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.

故选：AC.

11.如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（）

A. B.平面平面

C.平面 D.点到截面的距离为

【答案】ABD

【解析】如图，

在直三棱柱中，，

平面，平面，

则有平面，平面，平面平面，

可得，故A正确；

∵是的中点，，，∴，

又，∴，∴，

则，∴，

∵，，，平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面，故B正确；

因为，平面，所以与平面不平行，故C错误；

设与交于点，则平面，

又因为为的中点，

所以点到截面的距离等于点到截面的距离，

在中，，由等面积法可得，

所以点到截面的距离为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若事件与互斥，且，则__________.

【答案】

【解析】因为事件与互斥，且，

所以.

故答案为：.

13.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为_