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第十三讲:三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象中,五个关键点是:.
(2)在余弦函数,的图象中,五个关键点是:.
2、的图象与性质
(1)最小正周期:.
(2)定义域与值域:的定义域为R,值域为[-A,A].
(3)最值().
对于,
(4)对称轴与对称中心.()
对于,
(5)单调性.()
对于,
(6)平移与伸缩
由的图象变换得到(,)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一:三角函数的性质
【典例例题】
例1.(多选)(2022·广东汕头·高三期末)对于函数,x∈R,则(????)
A.f(x)的最大值为1 B.直线为其对称轴
C.f(x)在上单调递增 D.点为其对称中心
【答案】BD
【详解】依题意,,的最大值为,A错误;
当时,,则直线为图象的对称轴,B正确;
当,即时,由得,即在上单调递增,
由得,即在上单调递减,C错误;
因,则点为其对称中心,D正确.
故选:BD
例2.(2022·广东珠海·高三期末)关于函数,下列说法正确的是(????)
A.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
B.的图象关于直线对称
C.的表达式可以改写为
D.若函数在的值域为,则m的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于A,由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象,所以A选项错误;
对于B,当时,,所以B选项正确;
对于C,,所以C选项错误;
对于D,由得,又函数在的值域为,得,解得,所以D选项正确.
故选:BD
【方法技巧与总结】
研究三角函数的性质,关键式将函数化为与
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1.(2022·广东揭阳·高三期末)已知函数,则该函数的增区间为(????)
A.B.
C.D.
【答案】C
【详解】令,
解得,
所以函数的增区间是.
故选:C.
2.(2022·广东茂名·一模)函数在区间上的最大值为______
【答案】3
【详解】由题意,,而,则,所以函数的最大值为.
故答案为:3.
3.已知函数,则下列说法正确的是(???????)
A.为奇函数 B.为偶函数
C.为奇函数 D.为偶函数
【答案】B
【详解】
因为
,
所以,
所以,所以为偶函数,故A错误,B正确;
又,所以函数为非奇非偶函数函数,故C、D错误.
故选:B.
4.设函数,若时,的最小值为,则(???????)
A.函数的周期为
B.将函数的图象向左平移个单位,得到的函数为奇函数
C.当,的值域为
D.函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【详解】
由题意,得,所以,则,所以选项A不正确;
对于选项B:将函数的图象向左平移个单位,得到的函数是
为偶函数,所以选项B错误;
对于选项C:当时,则,所以的值域为,选项C不正确;
对于选项D:令,所以当时,,所以函数在区间上的零点个数共有6个,D正确,
故选:D.
5.设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则(???????)
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【详解】
由的最小正周期大于,得,
又,,得,
,则,即,
,
由,得,
,,
取,得,
,,
故选:.
6.若函数,,,又,,且的最小值为,则的值为(???????)
A. B. C.4 D.
【答案】A
【详解】
,
所以,
因为的最小值为函数的最小正周期的,
所以,函数的最小正周期为,
因此,.
故选:A
7.(2022·广东湛江·一模)已知函数,,,且在区间上有且只有一个极大值点,则的最大值为___________.
【答案】
【详解】由题意知,,,,则,,,
其中,,
当时,,,;当时,,,.
又在区间上有且只有一个极大值点,所以,
得,即,所以.
当时,,,此时,此时有2个极大值点,舍去;
当时,,,此时,此时有1个极大值点,成立,
所以的最大值为,
故答案为:
8.(2021·广东佛山·一模)已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个:①;②若,且的最小值为,,求解下列问题:
(1)化简的表达式并求的单调递增区间;
(2)已知,求的值.
【答案】
(1),单调递增区间为,(2)
(1)
解:若选择条件①;
,
由,
得,
所以的单调递增区间为,
若选择条件②,若,即是的最大值点,是的零点且的最小值为,
设的周期为T,
由此可得,即有,
∴
由,可得,即有
可得或,
再结合,可得,
综上可得:,
(2)
解:,
可得,
∵,
∴,
从而可得,即有,
∵
∴,
由,
可得,
故.
考点二:三角函数的图象
【典例例题】
例1.(2022·广东·金山中学高三期末)为了得到函数的图象,可以将
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