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第十三讲：三角函数图象及性质

【考点梳理】

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

2、的图象与性质

（1）最小正周期：.

（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].

（3）最值（）.

对于，

（4）对称轴与对称中心.（）

对于，

（5）单调性.（）

对于，

（6）平移与伸缩

由的图象变换得到(，)的图象的两种方法

(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移

【典型题型讲解】

考点一：三角函数的性质

【典例例题】

例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数，x∈R，则（????）

A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴

C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心

【答案】BD

【详解】依题意，，的最大值为，A错误；

当时，，则直线为图象的对称轴，B正确；

当，即时，由得，即在上单调递增，

由得，即在上单调递减，C错误；

因，则点为其对称中心，D正确．

故选：BD

例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数，下列说法正确的是（????）

A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

B．的图象关于直线对称

C．的表达式可以改写为

D．若函数在的值域为，则m的取值范围是

【答案】BD

【详解】对于A，由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，所以A选项错误；

对于B，当时，，所以B选项正确；

对于C，，所以C选项错误；

对于D，由得，又函数在的值域为，得，解得，所以D选项正确．

故选：BD

【方法技巧与总结】

研究三角函数的性质，关键式将函数化为与

的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.

【变式训练】

1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（????）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】令，

解得，

所以函数的增区间是.

故选：C.

2.（2022·广东茂名·一模）函数在区间上的最大值为______

【答案】3

【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为.

故答案为：3.

3.已知函数，则下列说法正确的是（???????）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】B

【详解】

因为

，

所以，

所以，所以为偶函数，故A错误，B正确；

又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.

故选：B.

4.设函数，若时，的最小值为，则（???????）

A．函数的周期为

B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数

C．当，的值域为

D．函数在区间上的零点个数共有6个

【答案】D

【详解】

由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；

对于选项B：将函数的图象向左平移个单位，得到的函数是

为偶函数，所以选项B错误；

对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；

对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，

故选：D.

5．设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（???????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】

由的最小正周期大于，得，

又，，得，

，则，即,

，

由，得,

，,

取，得,

，,

故选：．

6.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（???????）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【详解】

，

所以，

因为的最小值为函数的最小正周期的，

所以，函数的最小正周期为，

因此，.

故选：A

7.（2022·广东湛江·一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.

【答案】

【详解】由题意知，,，，则,，，

其中，,

当时，，，；当时，，，.

又在区间上有且只有一个极大值点，所以，

得，即，所以.

当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；

当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，

所以的最大值为，

故答案为：

8．（2021·广东佛山·一模）已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：

(1)化简的表达式并求的单调递增区间；

(2)已知，求的值.

【答案】

(1)，单调递增区间为，(2)

(1)

解：若选择条件①；

，

由，

得，

所以的单调递增区间为，

若选择条件②，若，即是的最大值点，是的零点且的最小值为，

设的周期为T，

由此可得，即有，

∴

由，可得，即有

可得或，

再结合，可得，

综上可得：，

(2)

解：，

可得，

∵，

∴，

从而可得，即有，

∵

∴，

由，

可得，

故.

考点二：三角函数的图象

【典例例题】

例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数的图象，可以将