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第十三讲:三角函数图象及性质

【考点梳理】

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数,的图象中,五个关键点是:.

(2)在余弦函数,的图象中,五个关键点是:.

2、的图象与性质

(1)最小正周期:.

(2)定义域与值域:的定义域为R,值域为[-A,A].

(3)最值().

对于,

(4)对称轴与对称中心.()

对于,

(5)单调性.()

对于,

(6)平移与伸缩

由的图象变换得到(,)的图象的两种方法

(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移

【典型题型讲解】

考点一:三角函数的性质

【典例例题】

例1.(多选)(2022·广东汕头·高三期末)对于函数,x∈R,则(????)

A.f(x)的最大值为1 B.直线为其对称轴

C.f(x)在上单调递增 D.点为其对称中心

【答案】BD

【详解】依题意,,的最大值为,A错误;

当时,,则直线为图象的对称轴,B正确;

当,即时,由得,即在上单调递增,

由得,即在上单调递减,C错误;

因,则点为其对称中心,D正确.

故选:BD

例2.(2022·广东珠海·高三期末)关于函数,下列说法正确的是(????)

A.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

B.的图象关于直线对称

C.的表达式可以改写为

D.若函数在的值域为,则m的取值范围是

【答案】BD

【详解】对于A,由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象,所以A选项错误;

对于B,当时,,所以B选项正确;

对于C,,所以C选项错误;

对于D,由得,又函数在的值域为,得,解得,所以D选项正确.

故选:BD

【方法技巧与总结】

研究三角函数的性质,关键式将函数化为与

的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.

【变式训练】

1.(2022·广东揭阳·高三期末)已知函数,则该函数的增区间为(????)

A.B.

C.D.

【答案】C

【详解】令,

解得,

所以函数的增区间是.

故选:C.

2.(2022·广东茂名·一模)函数在区间上的最大值为______

【答案】3

【详解】由题意,,而,则,所以函数的最大值为.

故答案为:3.

3.已知函数,则下列说法正确的是(???????)

A.为奇函数 B.为偶函数

C.为奇函数 D.为偶函数

【答案】B

【详解】

因为

所以,

所以,所以为偶函数,故A错误,B正确;

又,所以函数为非奇非偶函数函数,故C、D错误.

故选:B.

4.设函数,若时,的最小值为,则(???????)

A.函数的周期为

B.将函数的图象向左平移个单位,得到的函数为奇函数

C.当,的值域为

D.函数在区间上的零点个数共有6个

【答案】D

【详解】

由题意,得,所以,则,所以选项A不正确;

对于选项B:将函数的图象向左平移个单位,得到的函数是

为偶函数,所以选项B错误;

对于选项C:当时,则,所以的值域为,选项C不正确;

对于选项D:令,所以当时,,所以函数在区间上的零点个数共有6个,D正确,

故选:D.

5.设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则(???????)

A., B.,

C., D.,

【答案】D

【详解】

由的最小正周期大于,得,

又,,得,

,则,即,

由,得,

,,

取,得,

,,

故选:.

6.若函数,,,又,,且的最小值为,则的值为(???????)

A. B. C.4 D.

【答案】A

【详解】

所以,

因为的最小值为函数的最小正周期的,

所以,函数的最小正周期为,

因此,.

故选:A

7.(2022·广东湛江·一模)已知函数,,,且在区间上有且只有一个极大值点,则的最大值为___________.

【答案】

【详解】由题意知,,,,则,,,

其中,,

当时,,,;当时,,,.

又在区间上有且只有一个极大值点,所以,

得,即,所以.

当时,,,此时,此时有2个极大值点,舍去;

当时,,,此时,此时有1个极大值点,成立,

所以的最大值为,

故答案为:

8.(2021·广东佛山·一模)已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个:①;②若,且的最小值为,,求解下列问题:

(1)化简的表达式并求的单调递增区间;

(2)已知,求的值.

【答案】

(1),单调递增区间为,(2)

(1)

解:若选择条件①;

由,

得,

所以的单调递增区间为,

若选择条件②,若,即是的最大值点,是的零点且的最小值为,

设的周期为T,

由此可得,即有,

由,可得,即有

可得或,

再结合,可得,

综上可得:,

(2)

解:,

可得,

∵,

∴,

从而可得,即有,

∴,

由,

可得,

故.

考点二:三角函数的图象

【典例例题】

例1.(2022·广东·金山中学高三期末)为了得到函数的图象,可以将

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