矩阵理论 课件 第2章第6节内积空间.pptxVIP

2.6内积空间

内积空间

线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而，在线性空间中，缺少向量的度量的概念，

如向量的长度与夹角.本节引入这些重要的概念.

在R³空间中，向量的长度与夹角是由向量的内积确定的.R³中向量的内积指的是对R³

中任意两个非零向量α和β,它们的内积定义为α·β=|al|β|cosθ,其中，|a|和β|分别是

α与β的长度，θ是α与β的夹角.并且当α和β中有一个是零向量时，α·β=0.有了内

当然，不能由R³中的内积公式直接将其推广到一般的线性空间，与定义线性空间类似，

下面用公理引入一般线性空间的内积.

a的长度就可以由式|a|=√a·α确定，同时α与β之间的确定.

积的概念后，R³中

夹角θ也可以由式

定义2.18设V是数域P上的线性空间，对任意两个向量α,β∈V,都有一个数域P中的

数与它们相对应，记为(a,β).并且对任意α,β,y∈V,k∈P,满足下列条件.

(1)共轭对称性：(a,β)=(β,α).

(2)齐次性：(ka,β)=k(a,β).

(3)可加性：(α+β,γ)=(a,y)+(β,y).

(4)正定性：(a,α)≥0,当且仅当α=θ时，(α,α)=0.

此时，称数(α,β)为向量α和β的内积.定义了内积的线性空间称为内积空间.

特别地，定义在实数域R上的内积空间称为欧几里得空间，也称实内积空间.定义在复数域C上的内积空间称为酉空间，也称复内积空间.

内积空间的基本概念

内积空间

例2.43考虑线性空间R(C),对任意两个向量

α=(a,a₂,…,an),β=(b₁,b₂,…,bn)

定义(a,β)=ab+a₂b₂+…+abn=αβ(a,β)=ab₁+a₂b₂+…+ab,=aβH).易验证

满足定义2.18的条件，因此线性空间R(C)对于如上规定的运算构成一个内积空间，此内

积称为R(C)的标准内积.

例2.44考虑线性空间R,对任意两个向量

α=(a₁,a₂,…,an),β=(b₁,b₂,…,bn)

定义(α,β)=ab+2a₂b₂+…+na,bn.不难验证线性空间R对于如上规定的运算也构成一个内积空间.

由此可见，对于同一个线性空间，可以引入不同的内积，从而构成不同的内积空间.

例2.45对于实矩阵空间R中的矩阵A=(a;)mxn和B=(b)mxn,定义

内积空间

根据定积分的定义，易知它是内积，因此C[a,b]按此内积构成欧几里得空间.

由内积的定义不难得到内积的如下基本性质(定理2.26)

定理2.26设V是数域P上的内积空间，对Va,β,y,α;,β,∈V,k,k,,l,∈P,有以下结论.

(1)(a,kβ)=k(a,β).

(2)(α,β+γ)=(a,β)+(a,y).

(3)(a,θ)=(θ,β)=0.

内积空间

易知它是内积，Rm×n按此内积构成欧几里得空间，此内积称为R×n的标准内积.

例2.46对于实线性空间C[a,b]中的函数f(x)和g(x),定义

(5)|(a,β)²≤(a,α)(β,β),且等号成立当且仅当α与β线性相关，此不等式称为Cauchy

-Schwarz不等式.

证这里只证明(5).当β=θ时，此不等式显然成立.以下设β≠θ,对任意t∈P,α+tβ∈V,

都有

0≤(α+tβ,α+th+t(a,β)+l²(β,β)

当α,β线性相关时，不妨

(a,β)²=(a,β)(a,β)=(a,ka)(a,ka)=k(a,α)(ka,α)

=(a,α)(ka,ka)=(a,α)(β,β)

,代入上式可得,于是(a,β)²≤(a,α)(β,β)成立.

,β线性无关，则对任意实数t,都有+tβ≠θ,从而，

得|(α,β)²(a,a)(β,β),与假设矛盾.因此，α,β

于是不等式中的等号成立.

a/ate)-

线性相关.

内积空间

2

内积空间

在不同的内积空间中，向量及其内积的定义不一样，因此Cauchy-Schwarz不等式也具有

不同的形式.如果把Cauchy-Schwarz不等式应用到例2.43的R中，则有

如果把Cauchy-Schwarz不等式应用到例2.46的C[a,b]中，则有

定义2.19设V是内积空间，对任意α∈V,称非负实数(a,α)为α的长度(或范数或模),

记作lal,即|a|=√(a,a)