矩阵理论 课件 第4章第1节线性变换的特征值与特征向量.pptx

MATRIXTHEORY

矩阵理论

山东科技大学张子叶

第4章

矩阵的Jordan标准型

目录

4.1线性变换的特征值与特征向量

4.2λ一矩阵

4.3不变因子与初等因子

4.4数字矩阵的Jordan标准型

4.5凯莱-哈密顿定理与矩阵的最小多项式

4.1线性变换的特征

值与特征向量

线性变换的特征值与特征向量

特征值与特征向量

设T为数域P上n维线性空间V的线性变换，根据线性变换的矩阵表示可知，T在一

个基α₁,a₂,…,α,下的矩阵为对角矩的充要条件是基向量α;满足

T(α;)=λ,α;,i=1,2,…,n.

定义4.1设T为数域P上n维线性空间V的线性变换，如果对于常数λ,∈P,存在非零向

量ξ∈V,使得

T(ξ)=λ₀ξ

则称常数λ。为线性变换T的特征值，ξ为线性变换T的属于特征值λ₀的特征向量.

线性变换的特征值与特征向量

例如，对于任意可微的实函数空间，定义变换δ:f(x)→f(x).容易验证δ为一线性变

换.Vλ∈R,δ(e^x)=λe^x,从而，λ为其特征值，ex为其相应的特征向量.

从几何上来看，特征向量ξ在线性变换的作用下保持方位不变(在同一直线上).由于线

性变换较为抽象，因此直接利用定义来确定λ和ξ是很困难的.为此，这里利用线性变换T的矩阵表示将该问题转化为一个纯代数问题.

取定数域P上n维线性空间V的一个基α₁,a₂,…,αn,设T(ξ)=λ₀ξ(ξ≠0),T(a,a₂,…,αn)=(α₁,a₂,…,an)A,ξ=(a₁,a₂,…,αn)a,α∈P,则

(a₁,a₂,…,αn)(A₀α)=2₀ξ=T(ξ)=T(α₁,a₂,…,αn)α=(α₁,a₂,…,αn)Aα,

因此Aα=2,a,即

(2,E-A)α=0,(α≠0)(4.1)

从而，|2E-A|=0,由此引入如下定义.

这是一个关于λ的n次多项式，其根为A的特征值，相应地式(4.1)的非零解向量α称为A

的属于λ。的特征向量.

由定义可知，若λ为T的特征值，则λ为方程λE-A|=0的一个根；反之，若λ为

方程|λE-A=0的根，则齐次线性方程组(λE-A)x=0有非零解x.令ξ=(a,a₂,…,a)x,

则T(ξ)=λξ,即λ为T的一个特征值，满足(λE-A)x=0的非零向量x也称为A的属

于特征值入的特征向量.

线性变换的特征值与特征向量

定义4.2设A为数域P上的n阶方阵，其特征多项式为

定理4.1设T为数域P上n维线性空间V的线性变换，T在V的基α₁,a₂,…,α,下的矩阵

为A,则有以下结论.

(1)矩阵A的特征值入就是线性变换T的特征值.

(2)若ξ为矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则x=(a₁,a₂,…,a)ξ为T的属于特征值λ的特征向量.

证设Aξ=λξ,则

T(x)=T[(a₁,a₂,…,αn)ξ]=(α₁,a₂,…,αn)Aξ

=(α₁,a₂,…,α)Aξ=λx

因为ξ≠0,所以x=(a₁,a₂,…,αn)ξ≠0,根据定义4.1得证.

由此可见，在n维线性空间中，线性变换的特征值和特征向量可分别由其在某个基下

的矩阵的特征值和特征向量导出.因为矩阵的特征值和特征向量总是存在的，所以在n维线性空间中，线性变换的特征值和特征向量也总是存在的.但是，如果线性空间是无限维的，则结论未必成立.

线性变换的特征值与特征向量

例如，设P[x]为数域P上一元多项式的全体构成的线性空间，容易验证σ:f(x)→xf(x)

为一线性变换.但是，Vλ∈P,不存在非零f(x),使得xf(x)=λf(x),从而，线性变换σ

没有特征值.

根据定理4.1,有限维线性空间的线性变换的特征值和特征向量有类似矩阵的特征值和特征向量的性质，在此不再赘述.至于求解，可以从线性变换在给定基下的矩阵的角度来求解.

注1因为同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，所以线性变换的矩阵的特征多项式

与基的选取无关，而直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特征多项式.

注2A的特征多项式f(A)=|AE-A|是一个首项系数为1的n次多项式，其n-1次多项

,tr(A)称为A的迹；常数项为

线性