专题02 圆锥曲线经典题型全归纳（原卷版）.docxVIP

专题02圆锥曲线经典题型全归纳

【题型归纳目录】

题型一：向量搭桥进行翻译

题型二：弦长、面积背景的条件翻译

题型三：斜率背景条件的翻译

题型四：弦长、面积范围与最值问题

题型五：坐标、斜率、角度、向量数量积等范围与最值问题

题型六：定值问题

题型七：定点问题

题型八：三点共线问题

题型九：中点弦问题

题型十：四点共圆问题

题型十一：切线问题

【考点预测】

考点一、直线和曲线联立

（1）椭圆与直线相交于两点，设，

，

椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，

注意：

=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．

=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．

（2）抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．

抛物线与直线相交于两点，设，

联立可得，时，

注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．

总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．

考点二、根的判别式和韦达定理

与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．

同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．

与C相离；与C相切；与C相交．

注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．

（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．

（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．

（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；

焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．

（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．

考点三、弦长公式

设，根据两点距离公式．

（1）若在直线上，代入化简，得；

（2）若所在直线方程为，代入化简，得

（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．

注意：（1）上述表达式中，当为，时，；

（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．

（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．

（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．

（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．

考点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程

（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，

运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，

所以，两式相减得

所以

即，故

（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．

考点五、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

考点六、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．

考点七、证明共线的方法

（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．