2025年春北师版数学九年级下册 3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 教案.docx

3.4圆周角和圆心角的关系

第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形

教学内容

第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形

课时

1

核心素养目标

1.经历探索圆周角定理推论的过程，理解圆周角定理推论，体会分类讨论、化归的思想方法；

2.掌握圆周角定理的推论，能够利用推论，解决圆、三角形、四边形相关的几何问题，培养几何直观能力，逻辑推理能力.

知识目标

1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)

2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)

教学重点

圆周角定理推论的证明及应用.

教学难点

能够在图形中抽象基本图形，正确使用圆周角定理及其推论.

教学准备

课件

教学过程

主要师生活动

设计意图

一、情境导入

二、探究新知

当堂练习，巩固所学

创设情境，导入新知

问题1什么是圆周角？

问题2什么是圆周角定理？

师生活动：学生思考片刻，举手回答问题

预设：（1）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

（2）圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

小组合作，探究概念和性质

知识点一：直径所对应的圆周角

如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？

首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC）

然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角）

最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.

预设：

猜想：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.

证明：∵BC为直径，

∴∠BOC＝180°，

∴根据圆周角定理，∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝90°.

（2）如图，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？

师生活动：

首先，让学生猜想结果；

然后，再让学生尝试进行证明.

预设：

解：弦BC是直径.

连接OC、OB，

∵圆周角∠A＝90°，

∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.

∴B、O、C三点在同一直线上.

∴BC是⊙O的一条直径.

活动的注意事项：在（2）证明弦BC是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC，认为BC过点O，则直接说BC是直径，这样的说理是错误的，应该是连接OB和OC，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.

归纳总结

推论直径所对的圆周角是直角.

几何语句：∵BC为直径，

∴∠BAC=90°.

推论90°的圆周角所对的弦是直径.

几何语句：∵∠BAC=90°，

∴BC为直径.

链接中考

1.(济南)如图，AB、CD是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数.

师生活动：

1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。

2小组内批阅。

3.对板演的内容进行评价纠错。

预设：

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°.

∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°，

∴∠B=25°.

∴∠BAD=90°-∠B=65°.

知识点二：圆内接四边形及其性质

如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？

师生活动：

教师从推论1图形基础上再补一个点，构成四边形.

此时学生观察四边形，

首先：引导学生进行猜想；

然后：让学生进行证明.

不难发现有两个直径所对的圆周角，根据四边形内角和360°，可以知∠BAD+∠BCD=180°；

预设：

解：∠BAD与∠BCD互补.

∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.

∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，

∴∠BAD+∠BCD=180°.

∴∠BAD与∠BCD互补.

(2)如图，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间关系还成立吗？为什么？

教师提问当对角线AC是圆内一条弦的时候，问题2中的关系是否成立；学生观察图形，此时圆心不在四边形对角线上，需要找到优弧所对圆心角、圆周角，可能会陷入∠BAD和∠BCD所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.

其次，在两个图形中四边形ABCD的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.

师生活动：

首先：让学生猜想结论；

然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；

最后：让学生利用所学知识进行严密证明.

预设：

解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.

连接O