5.3 函数的单调性（解析版）.docxVIP

5.3函数的单调性

TOC\o1-4\h\z\u5.3函数的单调性 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1单调增(减)函数的概念 2

知识点2函数的单调性与单调区间 4

知识点3函数的最大值与最小值 6

二、典型题型 7

题型1函数单调性的判定与证明 9

题型2函数单调性的应用 10

三、难点题型 10

题型1利用单调性求函数的最值 13

题型2二次函数的最值 15

四、活学活用培优训练 26

一．基础知识点

知识点1单调增(减)函数的概念：设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A.

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1x2时，都有

(1)f(x1)f(x2)①称y＝f(x)在区间I上是增函数．②I称为y＝f(x)的增区间．

(2)f(x1)f(x2)①称y＝f(x)在区间I上为减函数．②I称为y＝f(x)的减区间．

例1若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．

【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.

若，则，故选项C不正确.

故选：C.

例2（多选题）下列函数中，在区间上单调递增的是（?????）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】A：由反比例函数的图象即可判断；B：由一次函数的图象即可判断；C：开由二次函数的图象即可判断；D：利用单调性的定义进行判断.

【详解】A：由反比例函数的图象可知在区间和上单调递减，故A错误；

B：由一次函数的图象可知在区间上单调递减，故B正确；

C:开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，在单调递减，故C正确；

D：设，令，，即，由函数单调性得概念可知在上单调递增，故D正确

故选：BCD.

例3用定义证明函数在区间上单调递减．

【答案】证明见解析.

【分析】令，应用作差法判断的大小关系，即可证明结论.

【详解】任取，且，有，

由，则，，且，，

∴，即，

∴在区间上单调递减．

知识点2函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．

例1函数的单调递增区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.

【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.

故选：B.

例2（多选题）函数的单调区间是（???????）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数的开口方向及对称轴求得函数的单调区间.

【详解】解：函数开口向上，

对称轴为，故单调递减区间为，递增区间为，

故选：CD.

例3已知函数f（x）=，

（Ⅰ）画出f（x）的图象；

（Ⅱ）写出f（x）的值域及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）值域为，单调递增区间为，.

【解析】（Ⅰ）根据分段函数的函数解析式画出即可；

（Ⅱ）观察图象即可求出值域和单调递增区间.

【详解】（Ⅰ）函数f（x）的图象如下，

（Ⅱ）根据函数f（x）的图象可知，

f（x）的值域为，单调递增区间为，.

【点睛】本题考查分段函数图象的画法，考查根据图象求函数值域和单调区间，属于基础题.

知识点3函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值：一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

(2)函数的最小值：一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．

例1已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（????）

A． B． C．1 D．-1

【答案】A

【解析】利用的单调性将区间值代入可求得答案.

【详解】函数在区间是减函数，

所以时有最大值为1，即A=1，

时有最小值，即B=，

则,

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数的单调性及最值，属于基础题.

例2（多选题）下列四个命题，其中为假命题的是（????）

A．若函数在时是增函数，也是增函数，则是增函数

B．若函数的图象与轴没有交点，则且

C．的单调递增区间为

D．和表示同一个函数

【答案】ABCD

【分析】根据函数单调性的定义，以及函数的图象，结合函数单调区间的求解方法以及函数相等的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于，如在时是增函数，在时也是增函数，但不能说