6.1 幂函数（解析版）.docx

6.1幂函数

TOC\o1-4\h\z\u6.1幂函数 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1幂函数的概念 2

知识点2幂函数的图象和性质 3

二、典型题型 4

题型1求幂函数解析式或参数值 5

题型2求幂函数相关的定义域和值域 7

题型3幂函数的单调性及其应用 9

三、难点题型 9

题型1由幂函数的单调性比较大小 11

题型2幂函数的奇偶性问题 13

题型3由幂函数的解不等式 14

四、活学活用培优训练 23

一．基础知识点

知识点1幂函数的概念：一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

例1（多选题）下列函数为幂函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据幂函数的定义可得结果.

【详解】由幂函数的定义知，函数，为幂函数.

故选：BD.

例2已知幂函数的图象过点，则___________.

【答案】

【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.

【详解】设，

由的图象过点，可得，解得

，故.

故答案为：.

例3函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．

【答案】3

【分析】由幂函数的定义，得,求出的值，代入验证函数单调性，确定m的值．

【详解】由幂函数的定义，得，

解得或.

当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数；

故m＝3.

知识点2幂函数的图象和性质：

1．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：

2．幂函数的性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪

(0，＋∞)

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

(－∞，0)∪

(0，＋∞)

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非

偶函数

奇函数

单调性

在(－∞，＋∞)上单调递增

在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，＋∞)上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减

定点

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)

例1（多选题）下列结论中正确的是（????）

A．幂函数的图像都经过点，

B．幂函数的图像不经过第四象限

C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数

D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数

【答案】BC

【分析】根据常见的几种幂函数及其图像的性质，逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；

B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；

C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；

D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.

故选：BC

例2关于幂函数，下列命题正确的是___（填序号）．

①当时，图象是一条直线；?????????②图象都过点和；

③若是奇函数，则一定是增函数；????????④图象不可能出现在第四象限．

【答案】④

【分析】当时，化简函数的解析式，可判断①；取，可判断②；取函数可判断③；利用函数的定义可判断④.

【详解】对于①，当时，函数的定义域为，即，

故当时，图象是两条射线，①错；

对于②，当时，函数的图象不过点，②错；

对于③，函数为奇函数，该函数在、上均为减函数，③错；

对于④，因为幂函数在第一象限有图象，若该函数在第四象限有图象，这与函数的定义相矛盾，

故函数图象不可能出现在第四象限，④对.

故答案为：④.

例3已知幂函数．

(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；

(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围；

（2）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围.

(1)根据题意，当时，，

因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数，

故，即的取值范围为.

(2)

根据题意，当时，，

因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数，

故，即的取值范围为.

二．典型题型

题型1求幂函数解析式或参数值

解题技巧：1．幂函数y＝xα满足的三个特征

(1)幂xα前系数为1；

(2)底数只能是自变量x，指数是常数；

(3)项数只有一项．

2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.

例1（多选题）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（????）

A．5 B．1 C．2 D．4

【答案】BC

【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值