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第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件

【考向】

1．考查四种命题的意义及相互关系．

2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．

3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．

【复习指导】

复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．

根底梳理

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题

表述形式

原命题

假设p，那么q

逆命题

假设q，那么p

否命题

假设綈p，那么綈q

逆否命题

假设綈q，那么綈p

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p?q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p?q，q?p，那么p是q的充要条件．

一个区别

否命题与命题的否认是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否认作为条件，将原命题的结论否认作为结论构造的一个新的命题；②命题的否认只是否认命题的结论，常用于反证法．

两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假．

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断“假设p那么q”、“假设q那么p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，那么p是q的充分条件．

(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题，一般运用等价法．

(3)集合法：假设A?B，那么A是B的充分条件或B是A的必要条件；假设A＝B，那么A是B的充要条件．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．

2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“假设a＝－b，那么|a|＝|b|”的逆命题是()．

\A．假设a≠－b，那么|a|≠|b|B．假设a＝－b，那么|a|≠|b|

C．假设|a|≠|b|，那么a≠－bD．假设|a|＝|b|，那么a＝－b

3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否认是()．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

5．命题“假设a＞b，那么2a＞2b－1”的否命题为.

考向一命题正误的判断

【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B，有以下四个命题：

①AB?对任意x∈A都有x?B；

②AB?A∩B＝?；

③AB?B?A；

④AB?存在x∈A，使得x?B.

其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．

[审题视点]对于假命题，举出恰当的反例是一难点．

解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有AB但2∈A且2∈B.

②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有AB而A∩B＝{2}．

③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有AB但B?A.

④正确．

答案④

正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最根本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

【训练1】给出如下三个命题：

①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；

②设a，b∈R，且ab≠0，假设eq\f(a,b)＜1，那么eq\f(b,a)＞1；

③假设f(x)＝log2x，那么f(|x|)是偶函数．

其中不正确命题的序号是()．

A．①②③ B．①②

C．②③ D．①③

考向二四种命题的真假判断

【例2】?命题“假设函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，那么m≤1”，那么以下结论正确的选项是()．

A．否命题是“假设函数f(x)＝ex－m