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第四讲：函数概念及其表示

【考点梳理】

1、函数与映射的概念

函数

映射

两个集合A、B

设A、B是两个非空数集

设A、B是两个非空集合

对应关系

按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

f：A→B

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

2、函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

3、构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

4、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

5、函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.

(6)y＝logax(a0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).

(7)y＝tanx的定义域为.

【典型题型讲解】

考点一：函数的概念

【典例例题】

例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（???????）

A．，，，，

B．，

C．，

D．，，

【答案】ABD

【详解】

对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；

对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；

对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；

对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.

故选：ABD

【方法技巧与总结】

函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.

【变式训练】

1.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（????????）

A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个

【答案】B

【详解】

若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，

若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，

故选：B.

2.已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．

x

0

1

2

0

1

2

【答案】

解：由表可知，.

故答案为：.

考点二：具体函数的定义域

【典例例题】

例1.函数的定义域是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：，故，解得：，

故选：B

例2.函数的定义域为___________.

【答案】

【详解】

由题意可知，而以2为底的对数函数是单调递增的，

因此，求解可得或．

故答案为：．

【方法技巧与总结】

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

（3）将解集写成区间的形式.

【变式训练】

1.已知集合，，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

函数有意义，必有，即，于是得，而，

所以.

故选：C

2.函数的定义域是_______．

【答案】

【详解】

由题意可得，，解之得

则函数的定义域是

故答案为：

3．函数的定义域为___________.

【答案】

【详解】

解：由，

得，

所以，

所以函数的定义域为，

故答案为：

考点三：抽象函数定义域

【典例例题】

例1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

的定义域为，，即，

，解得：且，

的定义域为.

故选：.

【方法技巧与总结】

1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域

2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个