河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（二）（解析版）.docx

河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺

数学试题（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知向量，，，则（）

A. B.8 C. D.4

【答案】A

【解析】由向量，，得，而，

所以.

故选：A

2.已知，则的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意可得，故，其虚部为．

故选：C．

3.已知集合，，若，则a的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得，又，，

所以，解得.

故选：B.

4.已知点在椭圆上，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】将点的坐标代入椭圆方程，得:

，

因为，所以，所以椭圆方程，

其中，故离心率.

故选：C.

5.已知，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得，

由知，，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

则的最大值为.

故选：B．

6.已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】构建函数，则，

令，得；令，得；

可知在上单调递减，在上单调递增，则，

可得，当且仅当时取等号，

则，

由正弦函数的有界性可知，则，

又因为，则，所以．

故选：C．

7.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（）

A.2 B.5 C.7 D.8

【答案】A

【解析】记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为，

由题意知，，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为，

所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为，，差值，

解得，故，

由于三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，

若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意；

若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而，不符合题意；

若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球，

由层数为6的鬼工球雕孔数为42知，层数为m的鬼工球雕孔数为6，故，解得（负值舍去）.

故选：A．

8.二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于n次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得，

令，得，

令，得，

两式做差，可得，

因此，.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（）

A. B.

C. D.，

【答案】AC

【解析】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误；

由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确；

如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误，

故选：AC

10.如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（）

A.平面ABC

B.平面ABE

C.存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD

D.存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD

【答案】ACD

【解析】由题设，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体ABCDE，

由题意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正确；

延长CD，BE交于点F，若平面ABE，平面ABE，则，

由平面几何知识易知，故CD不垂直于平面ABE，B错误；

取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角，

由题意，点G可看作在平面AGH内以H为圆心，GH为半径的圆上的一点，

由于，必存在直线AG与该圆相切，存在，

显然为等腰三角形，则，都在平面内，

所以平面，平面，则平面平面BCD，故存在这样五面体ABCDE，C正确；

取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所