矩阵理论 课件 第2章第3节线性变换.pptxVIP

2.3线性变换

线性变换

线性变换的概念

定义2.10设V和U是数域P上的线性空间，T是V→U的映射.如果对任意α,β∈V和

k∈P,有

T(α+β)=T(α)+T(β),T(ka)=kT(α)

则称T是V→U的线性映射.V→V的线性映射称为V上的线性变换.

例2.27设A∈Rn,定义R上的变换为

T(x)=Ax(x∈R)

则T是R上的一个线性变换.

例2.28在线性空间P[x]或P[x],中，求微商的变换

D(f(x))=f(x)(f(x)∈P[x])

是一个线性变换，称为微分变换.

线性变换

例2.29在线性空间C[a,b]中，求积分的变换

(f(x)∈C[a,b])

是一个线性变换.

例2.30取定矩阵A,B,C∈Rn,定义R×的变换

T(X)=AX+XB+C(X∈R×n)

由于对任意X,Y∈R和k∈P,都有

T(X+Y)=A(X+Y)+(X+Y)B+C

=(AX+XB)+(AY+YB)+C

T(kX)=A(kX)+(kX)B+C=k(AX+XB)+C

可见，当C≠0时，T不是线性变换；反之，当C=0时，T是线性变换.

例2.31线性空间V的恒等变换(或单位变换)I(α)=α(α∈V)和零变换0(α)=θ(α∈V)

都是线性变换.

不难从定义直接推出线性变换具有下述基本性质.

(1)T(θ)=θ,T(-α)=-T(α).

因为T(θ)=T(Oα)=0T(α)=θ

T(-α)=T((-1)α)=(-1)T(α)=-T(α)

(2)若β=k₁a₁+…+kmαm,则

T(β)=T(k₁α₁+…+kmαm)=k₁T(α₁)+…+kmT(αm)

即线性变换保持线性组合不变.

(3)若α₁,a₂,…,am线性相关，则T(a₁),T(a₂),…,T(am)也线性相关.若α₁,a₂,…,αm线性相关，则存在不全为零的数使

k₁α₁+k₂a₂+…+kmαm=θ

用T作用到上式两端，得

k₁T(α₁)+k₂T(α₂)+…+kmT(αm)=θ

说明T(a₁),T(a₂),…,T(αm)线性相关

线性变换

线性变换

注此结论的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无关的向量组也变成线性相关的向量

组，如零变换就是这样.

(4)若线性变换T是单射，则T把线性无关的向量组仍变成线性无关的向量组.

设α₁,a₂,…,αm线性无关，又设

k₁T(α₁)+k₂T(α₂)+…+kmT(αm)=θ

则有T(k₁a₁+k₂a₂+…+k,am)=θ.由于T是单射且T(θ)=θ,因此

k₁α₁+k₂α₂+…+kmαm=θ

由α₁,a₂,…,am线性无关可知，k₁=…=km=0.因此T(a),T(α₂),…,T(αm)线性无关

线性变换

线性变换的运算

定义2.11设V是数域P上的线性空间，T,T₁,T₂都是V上的线性变换，则有以下结论.

(1)若对任意α∈V,恒有T₁(α)=T₂(α),则称T₁与T₂相等，记作T=T₂.

(2)(T₁+T₂)(α)=T₁(α)+T₂(α),α∈V,称T₁+T₂为T₁与T₂的和

(3)(λT)(a)=λT(α),λ∈P,a∈V,称λT为λ与T的数乘.

(4)(T₁T₂)(α)=T₁(T₂(α),α∈V,称T₁T₂为T₁与T₂的乘积.

(5)对线性变换T,若存在线性变换T₂,使得

TT₂=T₂T₁=I(恒等变换)

则称T₁为可逆变换，T₂是T的逆变换，记为T₂=T₁-¹.

定理2.16线性变换的和、数乘、乘积仍为线性变换，可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.

证对任意α,β∈V,k∈P.

(1)因为

(T₁+T₂)(α+β)=T₁(α+β)+T₂(α+β)=T₁(α)+T₁(β)+T₂(α)+T₂(β)

=T₁(α)+T₂(α)+T₁(β)+T₂(β)=(T₁+T₂)(α)+(T+T₂)(β)(T₁+T₂)(ka)=T₁(ka)+T₂(ka)=kT₁(α)+kT₂(α)

=k(T₁(α)+T₂(α))=k(T₁+T₂)(α)

所以T₁+T₂是线性变换.

(2)因为

(λT)(α+β)=λT(α+β)=λ(T(α)+T(β))=λT(α)+λT(β)=(λT)(α)+(λT)(β)

(λT)(ka)=λT(ka)=λ(k