矩阵理论 课件 第3章第1节向量范数.pptxVIP

MATRIXTHEORY

矩阵理论

山东科技大学张子叶

第3章

范数理论

目录

3.1向量范数

3.2矩阵范数

3.1向量范数

向量范数

向量范数的概念与性质

定义3.1设V是数域P上的线性空间，如果对任意向量x∈V,都有一个非负实数与之对

应，记为|x|,且满足下列3个条件.

(1)正定性：Vx∈V,|x|≥0,且x|=0当且仅当x=θ.

(2)齐次性：laxl|=|a||x||(Va∈P,x∈V).

(3)三角不等式：|x+y||≤/|x|+||y||(Vx,y∈V).

那么称x|为V上向量x的范数，简称向量范数.在线性空间V中定义了范数，就称V是线

性赋范空间.

容易证明向量范数具有以下性质.

(1)当|x|≠0时，

(2)Vx∈V,||-x=|x|.

(3)||x||-|y|≤|x-y||.

例3.1设向量x=(x₁,x₂,…,xn)T∈C,规定.证明/|是C上的一个范数，称此

证(1)当x≠0时，x₁,x₂,…,x,必不全为零，因此|x||0;当x=0时，必有x₁=x₂=…=x,=0

因此|x|,=0.

(2)Va∈C,

(3)Vx=(x₁T∈C,有

范数为向量x的1-范数，记为|x

(4)|x|-||v|≤||x+y|.

向量范数

l,即

|

例3.2设向量x=(x₁,X₂,…,xn)¹∈C,规定

是Cn中的一个范数，

称此范数为向量x的○-范数，记为|x|,即证(1)当x≠0时，x₁,X₂,…,xn必不全为零，

;当x=0时，必有

x₁=x₂=…=x,=0,因此

所以是Cn中的一个向量范数.

因此|是Cn中的一个向量范数.

(3)Vx=(x₁,x₂,…,x,),y=(y₁,y₂,…,yn)T∈C,有

向量范数

证(1)当x≠0时，

(2)Va∈C,

(3)Vx=(x₁,x₂,…,xn)T,y=(y₁,y₂,…,yn)T∈C,有

例3.3设向量x=(x₁,x₂,…,xn)∈C,规定证明是C中的一个范数，称此范数为向量x的2-范数，记为|x₂,即

由C中向量的内积可知

向量范数

Re(x,y)≤|(x,y)|≤√(x,x)(y,y)=//x|₂y₂

所以

x+yl₂≤/|x|2+||y|₂

故是C中的一个向量范数.

例3.4设向量x=(x₁,x₂,…,xn)∈C,规定其中P是不小于1的实数，则|·|是C中的一个范数.

证当p=1时，|川即为向量的1-范数；当p1时，有以下几种情况.

(1)当x≠0时，至少有一个分

由C中向量的内积可知

向量范数

又因为

(2)

|x+y||≤/|x|+|yl

故||是C中的一个范数，称其为向量x的p-范数，记为|x|l,即

利用Minkowski不等式，目

从而

(3)Vx,y∈C,其中，x=(x₁,x₂,…,xn)T,y=(y₁,y₂,…,yn),则

向量范数

向量范数

在C中，常用的p-范数有以下3类.

(1)当p=1时，1-范数：

(2)当p=2时，2-范数：

(3)当p→0时，0-范数：

对此有如下定理.

,故有,即x|=maxx;|(I≤i≤n)

当p→0时，

例3.5设A是任意n阶实对称正定矩阵，列向量x∈R,则函数是R中的一种范数，称为加权范数或椭圆范数.

(2)Va∈R,|axl=√(ax)¹A(ax)=|a|√x¹Ax=lallx|

(3)由于A正定，因此存在实可逆矩阵P,使得A=PTP,于是

|x+yl=|P(x+y|,=|Px+Py|l,≤|Px|2+|Py|,=|x|A+|||

证(1)因为A正定，所以Vx∈R

向量范数

故

例3.6设向量x=(3i,2,-5)T,求|x|,|x|,,x|.

|x|=max(x|,|x₂|,|x₃|)=max(3,2,5)=5