第四节函数的奇偶性原卷.docx

第四节函数的奇偶性

考点一：判断函数的奇偶性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.判断函数的奇偶性的必要条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

◆典例分析◆

例1(多选)下列命题中正确的是()

A．奇函数的图象一定过坐标原点

B．函数y＝xsinx是偶函数

C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数

D．函数y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函数

例2已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

例3判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；

(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；

(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x0，,－x＋1，x0.))

◆对点练习运用◆

1.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

2.下列函数中不具有奇偶性的是()

A．f(x)＝x＋sinx

B．f(x)＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,x－1))

C．f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)

D．f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)

3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是()

A．f(x)＝x－sinx

B．f(x)＝x2cosx

C．f(x)＝x＋x3

D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)

4.(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()

A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)

C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x

5.已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

6.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x5；

(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；

(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).

考点二利用奇偶性求参数值或范围

1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．

2.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．

◆典例分析◆

例1若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.

例2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x0，,ax3＋b，x0))为偶函数，则2a＋b等于()

A．3B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(3,2)

◆对点练习运用◆

1.已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.

2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x0，,0，x＝0，,x2＋mx，x0))是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

3.若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.

4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x0))为奇函数，则a＋b＝________.

6.(多选)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)