历高数-分部积分法.pptx

1§4.3分部积分法分部积分公式例题integrationbyparts第四章不定积分

2这一节要来谈谈，我们先前一直不愿承认的积分难言之隐。其实绝大部分的积分，都像是既野蛮又肮脏的野兽，潜伏在微积分最黑暗的深处，完全不接受人们的安抚、驯化。它们又像一群游民，躲着亮光，从不换洗内裤。它们经常让人头痛！有了这个比喻，你就能想象，让人手到擒来、顺利积分的积分问题，实属异数，其他的绝大多数都是要人使出浑身解数，连抓带咬，仍然负隅顽抗，坚决不肯束手就擒。所以若要降服它们，除掉其野性，我们还需要好几把刷子，这就是本章要陆续学习的另几几种特殊的积分技巧，它能大幅提高我们驯服积分问题的能力。

3解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式???特点被积函数是两个不同函数的乘积具有连续导数.两边积分一、分部积分公式ò=xxxdln

4这个积分法非常管用，但是有个应用上的窍门，那就是判断哪一部分当做u,哪一部分当做dv,这颇像我们在梳头时，是该中分、左分还是右分？许多美发师发现，如果他们无法决定该分哪一边，头发就会纠结在一起，他们的雄心抱负也会因此而耗尽。不过话说回来，当你应用分部积分法时，若是做了差劲的选择，也有可能让你英雄气短，萌生干脆退学改行去干美发师的念头！所以请好好注意后面这些例题呀。

5恰当选取u和dv是一个关键,v要易求;分部积分公式选取u和dv的一般原则是:(1)(2)易求.分部积分法

6例求解显然,法一法二二、例题选择不当,积分更难进行.,dsindxxu-=

7例求解（再次使用分部积分法）分部积分法

8例例问：如何求？

9例求解?

10例求解化简型分部积分法

11例求解:令,则原式=

12例求解注意循环形式uudvuudv应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况)

13注意前后几次所选的应为同类型函数.分部积分法

14使用分部积分法的关键是正确地选取(因为“幂指三”好积,分部积分法把被积函数视为两个函数的乘积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为常用的方法:自己简单.)小结“反对”的导数比它

15有时在用分部积分之前,须先变形.例求解

16解因为例

1717解法一于是解法二例令则x?t2,dx?2tdt.

1818例求解:令则注:此题直接进行分部求积也行。

1919dvu利用分部积分法可以得到一些递推公式:例试证递推公式证由分部积分法得

2020由此推出

2121利用这个递推公式及公式递推型如递推型递推公式,虽然积分没有具体求出来,但每用一次公式n就降低一次至两次,连续应用.

22解若设则上述计算公式可表为——递推公式练习

23例解一:先换元再分部令换元与分部的混合应用

24解二直接分部积分

25对分子分母同乘以令或分子分母同乘以

26令解三彻底换元令则

27

28注：在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数?故用分部积分法?在前者中f[?(x)]是以?(x)为中间变量的复合函数?故用换元积分法?第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较

29第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较提问：下列积分已经凑过微分?下一步该用什么方法？提示：

30曾用换元积分做过,现可用分部积分做!例u分部积分法

31分部积分公式1.原则:2.经验:3.题目类型:化简型;循环型;递推型.三、小结分部积分法v要易求;易求.“反对幂指三”的顺序,前为后为

32解分子分母同乘以令思考1.[分析]需要将作为整体来考虑

332.求积分解

34令

35解3.

36类似地，有

37两边同时对x求导，得分部积分解4.,)(2xexf-的一个原函数为已知ò￠xxfxd)(求ò-=xxfxfxd)()(

3838练习解试比较一下哪种做法简单.

39综合题1求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则

40方法2(先换元,再分部)令则故

412.求解法1先换元后分部令即则故

42解法2用分部积分法

43作业习题4-3(210页)2.