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江苏省泰州中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，则（????）

A． B．40 C．6 D．36

2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（????）

A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86

3．已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．4 B．8 C．16 D．32

4．已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（????）

A． B． C． D．

5．若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（????）

A．48 B．32 C．24 D．16

7．已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=

A． B．2 C． D．3

8．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题

9．若，且，则下列结论正确的是（????）

A．

B．展开式中二项式系数和为

C．展开式中所有项系数和为

D．

10．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（????）

A．该项目达标的概率为0.68

B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54

C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为

D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为

11．已知正方体的棱长为1，点满足，（与三点不重合），则下列说法正确的是（???）

A．当时，平面

B．当时，平面

C．当时，平面平面

D．当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为

三、填空题

12．的展开式中的系数为．

13．小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件A为“两人至少有一人选择甲学校”，事件B为“两人选择的学校不同”，若，则．

14．定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有个．

四、解答题

15．如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形.

(1)证明：平面EBD；

(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

16．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲?乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲?乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：

(1)甲?乙任选1个独立竞猜，求甲?乙恰有一人猜对的概率；

(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；

(3)甲?乙各任选2个独立竞猜，设甲?乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.

17．已知函数.

（1）求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.

18．如图，在四棱锥中，，，，.

??

(1)求证：平面；

(2)过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F.

（i）试确定F点位置；

（ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值