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第4节

一、平面及其方程

二、直线及其方程

三、两直线及两平面夹角

平面与直线

第七章

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①

一、平面点法式方程

设一平面经过已知点

且垂直于非零向

称①式为平面点法式方程,

求该平面方程.

法向量.

量

则有

故

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例1.求过三点

即

解:取该平面法向量为

平面方程.

利用点法式得平面方程

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此平面三点式方程也可写成

普通情况:

过三点

平面方程为

说明:

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尤其,当平面与三坐标轴交点分别为

此式称为平面截距式方程.

时,

平面方程为

分析:

利用三点式

按第一行展开得

即

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二、平面普通方程

设有三元一次方程

以上两式相减,得平面点法式方程

此方程称为平面普通

任取一组满足上述方程数

则

显然方程②与此点法式方程等价,

②

平面,

所以方程②图形是

法向量为

方程.

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特殊情形

•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示

经过原点平面;

•当A=0时,By+Cz+D=0法向量

平面平行于x轴;

•Ax+Cz+D=0表示

•Ax+By+D=0表示

•Cz+D=0表示

•Ax+D=0表示

•By+D=0表示

平行于y轴平面;

平行于z轴平面;

平行于xOy面平面;

平行于yOz面平面；

平行于zOx面平面.

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例2.求经过x轴和点(4,–3,–1)平面方程.

例3.用平面普通式方程导出平面截距式方程.

解:

因平面经过x轴,

设所求平面方程为

代入已知点

得

化简,得所求平面方程

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三、两平面夹角

设平面∏1法向量为

平面∏2法向量为

则两平面夹角余弦为

即

两平面法向量夹角(常指锐角)称为两平面夹角.

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尤其有以下结论：

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所以有

例4.一平面经过两点

垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.

解:设所求平面法向量为

即

法向量

约去C,得

即

和

则所求平面

故

方程为

且

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外一点,求

例5.设

解:设平面法向量为

在平面上取一点

是平面

到平面距离d.

,则P0到平面距离为

(点到平面距离公式)

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例6.

解:设球心为

求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所组成

则它位于第一卦限,且

所以所求球面方程为

四面体球面方程.

故

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内容小结

1.平面基本方程:

普通式

点法式

截距式

三点式

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2.平面与平面之间关系

平面

平面

垂直:

平行:

夹角公式:

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备用题

求过点

且垂直于二平面

和

平面方程.

解:已知二平面法向量为

取所求平面法向量

则所求平面方程为

化简得

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三空间直线方程

空间直线普通方程

空间直线方程通惯用两个平面交线来刻画：

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空间直线点向式方程与参数方程

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平面束

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