2.4 圆的方程（原卷版）.docxVIP

2．4圆的方程

【知识点梳理】

知识点一：圆的标准方程

，其中为圆心，为半径．

知识点诠释：

（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：

（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．

（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．

知识点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

（1）若点在圆上

（2）若点在圆外

（3）若点在圆内

知识点三：圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．

知识点诠释：

由方程得

（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．

（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．

知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．

（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．

（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

知识点五：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

3．求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；

（2）列出关于的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

（5）作答．

【题型归纳目录】

题型一：圆的标准方程

题型二：圆的一般方程

题型三：点与圆的位置关系

题型四：二元二次曲线与圆的关系

题型五：圆过定点问题

题型六：轨迹问题

【典型例题】

题型一：圆的标准方程

例1．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（???????）

A． B．

C． D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（???????）

A． B．9 C．4 D．8

例3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（???????）

A． B． C．1 D．

例4．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（???????）

A． B．

C． D．

例5．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．

例6．（2022·全国·高二课时练习）圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点的圆的方程是______．

例7．（2022·江苏·高二）已知，则以为直径的圆的方程为________．

例8．（2022·天津·二模）过点，且与直线相切于点的圆的方程为__________．

例9．（2022·江苏·高二）圆关于直线的对称圆的标准方程为_______．

例10．（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．

，

例11．（2022·全国·高二课时练习）已知圆过点，．

（1）求圆心所在直线的方程；

（2）求周长最小的圆的标准方程；

（3）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；

（4）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．

例12．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程

（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；

（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．

【方法技巧与总结】

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；

（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

题型二：圆的一般方程

例13．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是?，求它的外接圆的方程．

例14．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（???????）

A． B．

C． D．

例15．（2022·全国·