3.3.1 抛物线及其标准方程（原卷版）.docxVIP

3．3．1抛物线及其标准方程

【题型归纳目录】

题型一：抛物线的定义

题型二：抛物线的标准方程

题型三：轨迹方程—抛物线

题型四：抛物线距离和与差的最值问题

题型五：抛物线的实际应用

【知识点梳理】

知识点一、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

知识点诠释：

（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值

（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．

（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．

知识点二、抛物线的标准方程

标准方程的推导

如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．

设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．

设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合

，

将上式两边平方并化简，得．①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．

抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

，，，．

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．

一般情况归纳：

方程

图象的开口方向

焦点

准线

时开口向右

时开口向左

时开口向上

时开口向下

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．

【典型例题】

题型一：抛物线的定义

例1．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（????）

A． B．

C． D．

例2．（2022·全国·高二单元测试）从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.

例3．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．6

例4．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（????）

A．6 B．8 C．12 D．16

例5．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______．

例6．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.

例7．（2022·全国·高二课时练习）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．

例8．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．

题型二：抛物线的标准方程

例9．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（????）

A． B． C． D．

例10．（2022·全国·高二课时练习）准线方程为的抛物线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

例11．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线的焦点为，则其标准方程为（????）

A． B．

C． D．

例12．（2022·陕西宝鸡·高二期末（理））顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

例13．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（????）

A． B．

C． D．

例14．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的