4.3.2 等比数列的前n项和公式（解析版）.docx

4．3．2等比数列的前n项和公式

【题型归纳目录】

题型一：等比数列前项和的有关计算

题型二：等比数列前项和在几何中的应用

题型三：等比数列前项和的性质

题型四：递推公式在实际问题中的应用

题型五：利用错位相减法求数列的前项和

题型六：等比数列前n项和公式的实际应用

题型七：等比数列中与的关系

题型八：等比数列片段和的性质

题型九：等比数列的奇数项与偶数项和

【知识点梳理】

知识点一、等比数列的前项和公式

等比数列的前项和公式

推导过程：

（1）利用等比性质

由等比数列的定义，有

根据等比性质，有

所以当时，或．

（2）错位相减法

等比数列的前n项和，

①当时，，；

②当时，由得：

所以或．

即

知识点诠释：

①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．

②在求等比数列前项和时，要注意区分和．

③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．

知识点二、等比数列前项和的函数特征

1、与的关系

（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，

它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，

由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；

（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．

2、与的关系

当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为

设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．

知识点三、等比数列前项和的性质

1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．

2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．

3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列．

【题型归纳目录】

题型一：等比数列前项和的有关计算

题型二：等比数列前项和在几何中的应用

题型三：等比数列前项和的性质

题型四：递推公式在实际问题中的应用

题型五：利用错位相减法求数列的前项和

题型六：等比数列前n项和公式的实际应用

题型七：等比数列中与的关系

题型八：等比数列片段和的性质

题型九：等比数列的奇数项与偶数项和

【典型例题】

题型一：等比数列前项和的有关计算

例1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）设等比数列的前项和为，若，则公比（????）

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】等比数列的前项和为，由得：，

而，则有，解得，

所以.

故选：C

例2．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）设等比数列的前项和为，公比，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，不成立；

当时，，即，解得，

.

故选：A

例3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（????）

A．1 B． C．1或 D．1或

【答案】C

【解析】当q=1时，，满足.

当时，由已知可得，

，显然，.

所以，有，解得，q=1（舍去）或.

综上可得，q=1或.

故选：C.

变式1．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（????）

A．2 B． C．2或 D．2或

【答案】A

【解析】由，有，即，

由等比数列的通项公式得，即，解得或，

由数列为正项等比数列，∴.

故选：A

变式2．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（????）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】因为，

所以

设公比为q，可得：，

两式相除得：

故选：A

变式3．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（????）

A． B．32 C．64 D．

【答案】B

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知，

因为S3=，S6=，

所以，

解得，

所以.

故选：B

变式4．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为是正项等比数列，所以，，

由等比中项得，解得，

所以解得，，

所以.

故选：B.

【方法技巧与总结】

等比数列前n项和运算的技巧

（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．

（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体．

（3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

题型二：等比数列前项和在几何中的应用

例4．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习