2025年春北师版数学九年级下册 2.4 第1课时 图形面积的最大值 教案.docx

2.4二次函数的应用

第1课时图形面积的最大值

教学内容

第1课时图形面积的最大值

课时

1

核心素养目标

1.能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数求出最大值，增强解决问题的能力.

2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．

知识目标

1.利用二次函数解决图形问题.

2.能根据问题灵活设二次函数，选用合适的方法确定二次函数表达式.

教学重点

利用二次函数解决图形问题.

教学难点

能根据问题灵活设二次函数，选用合适的方法确定二次函数表达式.

教学准备

课件

教学过程

主要师生活动

设计意图

一、情境导入

二、探究新知

当堂练习，巩固所学

创设情境，导入新知

写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=x2-4x-5；(2)y=-x2-3x+4.

解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；

顶点坐标：（2，-9）；

（2）开口方向：向下；对称轴：x=-eq\f(3,2)；

顶点坐标：（-eq\f(3,2)，eq\f(25,4)）；

想一想

思考二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？

二次函数y=ax2+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.

师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评．

小组合作，探究概念和性质

知识点一：求二次函数的最大(或最小)值

例1写出下列抛物线的最值.

y=x2-4x-5;(2)y=-x2-3x+4.

解：

(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，-9),

∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;

(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=-eq\f(3,2)，顶点坐标为(-eq\f(3,2)，eq\f(25,4)),

∴当x=-eq\f(3,2)时，y取最大值，最大值为eq\f(25,4).

例2已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(C)

A．3B．－1C．4D．4或－1

师生活动：

要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果．

教师及时指导．

知识点二：几何图形面积的最大面积

引例如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示?

(2)设矩形的面积为ym，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

分析：要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了。

教学方法：鼓励学生合作讨论，采用不同的方法解决这一问题，通过充分交流，让所有学生都能初步体会解决这类问题的基本思路.在这里，要特别引导学讨论自变量的取值范围，以确保函数达到最大值或最小值时，对应自变量的取值在自变量的取值范围内.

议一议

在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？

教学方法：把上面的问题进行一定的变化，解决问题的方法也随之改变，在教学过程中，还

是先让各小组分别讨论，然后，由各小组将自己的解法思路展示在黑板上，如果解题思路相同，

选一个学生进行讲解，在这里，最后总结:这个题也是利用二次函数的关系来解决最值问题

例3如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.

(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

(2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

师生活动:

1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量.

2.教师设问，如何用含x的代数式表示与其相邻的边的长度.

3.学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性.

4.针对问题要求进行求解，并回答问题.

解：(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为(60?2x)m.

∴S=x(60?2x)=?2x2＋60x.

x＞0，

60?2x＞0，

60?2x≤32，

∴14≤x＜30.

∵S=?2x2＋60x=?2(x?15)2+450，

∴当x=15m时，S取最大值，此时S最大值=450m2.

(2)由(1)知S=?2x2＋6