3-7利用导数研究函数零点讲义教师版.docx

37利用导数研究函数零点讲义

一、三个等价关系

方程的实数根函数图象与轴交点的横坐标函数的零点．

二、利用导数研究函数零点的方法

解题思路：将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，化为两个函数图象的交点问题．

考点一确定函数零点的个数

1.确定函数零点个数问题，一般有三种思路：解方程法、数形结合法、零点存在定理；

2.根据参数确定函数零点的个数，常常应用数形结合法，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”．

【例11】已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；(2)讨论函数的零点的个数.

【解】(1)函数的定义域为，且，令得：

0

单调递减

极小

单调递增

∴得单调递减区间是，单调递增区间是.有极小值为，无极大值.

(2)令有：当时，；当时，，且经过，，.

当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；

当时，，，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.

函数的零点的个数为与的交点个数.

当时，有极小值.∴关于函数的零点个数有如下结论：

当时，零点个数为0个；当或，零点个数为1个；当时，零点个数为2个.

【例12】(2024·河南信阳·一模)已知函数f(x)=ln

(1)若m=?3，求证：f(x)≤0；(2)讨论关于x的方程f(x)+23π

【分析】(1)利用导数探讨单调性，求出最大值即得；(2)构造函数g(x)=3ln

【解】(1)当m=?3时，f(x)=ln(x+1)?x,x∈(?1,+∞

当x∈(?1,0)时，f(x)0，当x∈(0,+∞

因此函数f(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，所以

(2)依题意，f(x)+2

令g(x)=3ln(x+1)+mx+2

令φ(x)=3x+1+

当x∈(?1,0]时，?3(x+1)2≤?31

当x∈(0,2)时，?3(x+1)20，?π2sinπ

①当m≥0时，x∈(?1,2)时，g(x)=g

而g(0)=0，因此g(x)仅有1个零点；

②当?4m0时，g(0)=4+m0，g(2)=m0，

且0x02，当x∈(?1,x0)时，g(x)0，

而g(0)=0，则g(x)在(?1,x0)上有唯一的零点0，又g(

即?4m?3ln32时，g(x)在(x

若?3ln32≤m0，g(x)在(

③当m=?4时，g

当x∈(?1,0)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x∈(0,2)时，g

则g(x)≤g(0)=0，当且仅当x=0时取等号，因此g(x)仅有1个零点0；

④当m?4时，显然g(x)3x+1?1+m

又g(0)=4+m0，则函数g(x)存在唯一的零点

当x∈(?1,x0)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x∈(x0

则g(x)在(x0,2)上有唯一的零点0，显然g(x)3

且?1em?130，又g(x0)g(0)=0

所以当m?3ln32且m≠?4时，g(x)有两个零点；当m≥?3

1.(2024·四川凉山·二模)若fx=xsinx+cosx?1，x∈

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.

【解】f

当x∈?π2,0时，fx0，f

当x∈π2,π时，

又f?π2=π2?10

则fx=xsinx+cosx?1

2.(多选)(2024·湖北·一模)已知函数fx=ax3+bx2+cx+d存在两个极值点x1,x2x1x2

A．当a0时，n=3 B．当a0时，m+2=n

C．mn一定能被3整除 D．m+n的取值集合为4,5,6,7

【答案】AB【分析】分a0和a0两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析fx，

【解】由题意可知fx=3ax2

由ffx=3af

当a0时，令fx0，解得xx1或x

可知：fx在?∞,x1,x

若x1≥0，则?x1≤0x2

则fx=x2有2个根，

若fx2=x20，可知m=1，mn=3,m+n=4；若

若fx2=x2

??

当a0时，令fx0，解得x1xx

可知：fx在x1,x2内单调递增，在内?

若x2≤0，则?x10≥x2

若fx1=?x10，即x1

若fx1=?x1=0，即x1

若fx1=?x10，即x10，可知

????

综上所述：mn的取值集合为3,6,8,9,15，m+n的取值集合为4,5,6,8，故CD错误；故选：AB.

3.函数.

(1)讨论函数的极值；(2)当时，求函数的零点个数.

【解】(1)由题意，函数，可得，

当时，，在上为单调增函数，此时无极值；

当时，令，解得，所以在上为单调增函数，

令，解得，在上为单调减函数，

所以当时，函数取得极小值，无极大值.

综上所述：当时，无极值，当时，，无极大值.

(2)