专题09 三角函数的图象和性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题09三角函数的图象和性质

（一）周期函数

1．周期函数

条件

①对于函数f(x)，存在一个非零常数T

②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)

结论

函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

2．最小正周期

条件

周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数

结论

这个最小正数叫做f(x)的最小正周期

3．及周期为周期为，其中为常数，且

（二）正弦函数、余弦函数的图象和性质

1.正、余弦函数解析式

正弦函数y＝sinx，定义域R；余弦函数y＝cosx，定义域R

2．正弦函数图象的画法

(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．

(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是：

①列表：

x

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝sinx

0

1

0

－1

0

②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．

y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．

3．正弦曲线、余弦曲线

(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

(2)图象：如图所示．

4．正弦曲线和余弦曲线的关系

5．正弦函数的图象与性质

正弦函数的图象与性质如下表所示：

解析式

y＝sinx

图象

定义域

R

当x＝2kπ＋(k∈Z)时，y取最大值1

值域

[－1，1]

当x＝2kπ－(k∈Z)时，y取最小值1

最小正周期

2π

奇偶性

奇函数

单调性

在[2kπ－,2kπ+]上是增函数；

在[2kπ+,2kπ+]上是减函数(k∈Z)

【知识拓展】正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．

6．余弦函数的图象与性质

余弦函数的图象与性质如下表所示：

解析式

y＝cosx

图象

定义域

R

当x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值1

值域

[－1，1]

当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值1

最小正周期

2π

奇偶性

偶函数

单调性

在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数；

在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z)

【知识拓展】余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．

（三）正切函数的图象与性质

(1)图象：如图所示．

正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线．

(2)性质：如下表所示.

函数

性质

y＝tanx

定义域

值域

R

周期

π

奇偶性

奇函数

单调性

增区间

减区间

无

【知识拓展】(1)正切函数图象的对称中心是（，0）(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．

（四）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法

(1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线．

(2)变换法：

①先平移后伸缩

②先伸缩后平移

特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ．

题型一三角函数的周期性及应用

【典例1】（2021·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则的值等于（????）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的图象求出函数的解析式和周期，得到，转化为，代入即可求解.

【详解】由函数，可得，所以，即，

又由图象过点，可得，解得，

因为，所以，所以，

根据正弦函数的性质和周期，可得，

所以

.

故选：C.

【典例2】（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4