湖南省长沙市四大名校2024-2025学年高三下学期2月月考数学题（解析版）.docx

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佩佩教育2025届2月湖南高三联考

数学试卷

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出A，B，再根据并集概念计算即可.

【详解】因为，由，解得，则，所以，

故选：C.

2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）

A.射线上 B.射线上

C.直线上 D.直线上

【答案】A

【解析】

【分析】先根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出等式，最后化简等式得到与的关系，从而确定复数在复平面内对应的点的轨迹.

【详解】对于复数，，其共轭复数.

.

因，由，可得.

因为等式右边，所以，即.

对两边同时平方得，即.

两边同时开平方得，又因为，

所以复数在复平面内对应的点在射线上.

故选：A.

3.已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（）

A.2 B. C. D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值.

详解】设，又，所以，

根据二次函数性质，所以当时，，

故选：B.

4.设，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】取中间值1比较，再用换底公式变形，结合作差法比较即可.

【详解】因为，其中，

所以，所以，

故选：D.

5.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得，然后求得的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案.

详解】依题意得，，所以，

所以

，

因为，所以当或8时，取得最大值为，

故选：A.

6.已知函数的最小正周期为，且函数为奇函数，则当时，曲线与的交点个数为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】B

【解析】

【分析】借助辅助角公式与函数周期计算可得，再结合奇函数定义计算可得，再将两者图象画出即可得解.

【详解】，

由已知函数的最小正周期为，则，

所以，其中，且，

又由为奇函数知函数图象的一个对称中心为，

则有，

解得，所以，

所以，即.

画出与图象如图所示：

由图可知，曲线与交点个数为4.

故选：B.

7.设函数，当时，方程有且只有一个实根，则（）

A.2 B.1 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由得，.构造函数，将原问题转化为有且仅有一个零点.证明为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，解得.再验证即可.

【详解】由得，.令，

则原问题等价于有且仅有一个零点.因为，

所以为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，

即，解得.

当时，则.因为，

当且仅当时，等号成立，所以，即有且仅有一个零点0，

所以符合题意，

故选：D.

8.在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（）

A. B.2 C.3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】将四面体补形为直三棱柱，设，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解.

【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱.

因为与所成的角为，所以或.

设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.

易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

于是，所以.

中，，

在中，由余弦定理得，

显然当时，外接球的半径会更小，此时，

所以，

所以，故它的外接球半径的最小值为2.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键是将四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件数的一组样本数据：，则（）

A.极差是4 B.众数等于平均数

C.方差是2 D.第25百分位数为12

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可.

【详解】数据从小到大排列为：.

对于选项A，该组数据的极差为，故A正确；

对于选项B，众数为13，平均数为，所以众数与平均数相等，故B正确；

对于选项C，方差为，故C错误；

对于选项D，由，则第25百分位数为12，故D正确，

故选：ABD.

10.设点是曲线上一点，曲线在点处的切线为，则（）

A.，函数为奇函数

B.，函数有且仅有一个极小值点

C.当时，直线与两坐标轴围成的图形面积为8