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高级中学名校试题
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黑龙江省部分学校2025届高三第二次检测模拟考试
数学试题
一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1已知全集,集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以.
故选:A
2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】,
即得
故在第二象限,
故选:B
3.的展开式中的系数为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为,
当时,,当时,,
所以展开式中含的项为,
故展开式中的系数.
故选:D
4.某初中为了了解本校学生的体重情况,该校医务室从学生中随机抽取200名学生,测量他们的体重(单位:千克),根据测量数据,按分成六组,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是()
A.
B.估计这200名学生的平均体重为56.45千克(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
C.估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25
D.从该校所有学生中随机抽取一名学生,其体重不低于60千克的概率为0.4
【答案】C
【解析】A选项,,解得,A错误;
B选项,,
估计这200名学生的平均体重为54.75千克,B错误;
C选项,前3组数据的频率和为,
前4组数据的频率和为,
故该校中学生体重的第65百分位数落在第4组中,设为,
则,解得,C正确;
D选项,从频率分布直方图可知,体重不低于60千克的频率为,
故从该校所有学生中随机抽取一名学生,其体重不低于60千克的概率为0.2,D错误.
故选:C
5.已知函数在区间上单调递增,则实数的最小值为()
A B. C. D.1
【答案】B
【解析】,
因为函数在区间上单调递增,
所以在区间上恒成立.
即在区间上恒成立.
因为,所以,所以,
所以,即实数的最小值为.
故选:B
6.已知椭圆的左焦点为,过点且斜率为的直线与轴交于,若线段的中点在上,则的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】左焦点的坐标为,其中,离心率.
过点且斜率为的直线方程为.
当时,直线与轴交点的坐标为.
线段的中点坐标为.
中点在椭圆上,代入椭圆方程得到:,
化简得:.
利用和,代入上式得到:.
通分并整理得到方程:,
解得(舍去不合理的解),故离心率.
故选:D.
7.已知函数,如图,是直线与曲线的三个交点,若,点的横坐标为,则函数的最小正周期为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,结合的图象可得关于对称,关于对称,
所以,,解得
因为,所以,即,
即,解得,所以函数的最小正周期为.
故选:C
8.已知函数(其中且),若对,都有,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设,则由得,
令,则在上单调递增,
因为
所以,
故选:A
二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知,则()
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A,,
所以,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错误;
故选:AC
10.已知函数的极小值为,则()
A.
B.曲线是中心对称图形
C.若直线与函数的图象有个交点,则实数的取值范围为
D.当时,
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为,导函数,
当时,,函数为增函数,与条件矛盾,
当时,令可得,或,
当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
所以当时,函数取极小值,极小值为,
由已知,所以,A错误,
所以,
设,
函数的定义域为,定义域关于原点对称,
,
所以函数为奇函数,故函数的图象关于原点对称,
所以函数的图象关于点对称,关于曲线是中心对称图形,B正确,
因为当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
又,,
当时,,当时,,
所以函数的大致图象如下:
因为直线与函数的图象有3个交点,
所以,
所以的取值范围为,C正确;
因为,又,
所以,即,
因为,,
函数在上单调递减,
所以,D正确;
故选:BCD.
11.已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点,过点作准线的垂线,垂足为,直线(为坐标原点)与交于点(异于点),则()
A.
B.直线过抛物线的焦点
C.当为等腰三角形时,或
D.过点且与抛物线相切的直线平分
【答案】ABD
【解析】因为准线方程为,所以,A正确;
抛物线的焦点为,设,则,直线,
由,可得,,即,
当时,,即,此时直线过抛物线的焦点;
当时,直
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