矩阵理论 课件 第1章第3节矩阵的特殊乘积.pptx

1.3矩阵的特殊乘积

为A和B的Kronecker积，也称直积或张量积，记为A⊗B.

注一般来说，A×B≠B⊗A,即矩阵的Kronecker积不满足交换律，但对于单位矩阵Em和En,

有Em×E,=E,×Em=Em·

例1.6设,B=(-1,1),求A×B与B×A.

矩阵的特殊乘积

Kronecker积

定义1.7当A=(a;)mxn,B=(b)pxg,称分块矩阵

矩阵的特殊乘积

解

定理1.3矩阵的Kronecker积具有下列基本性质.

(1)设k为常数，则k(A×B)=(kA)×B=A×(kB).

(2)矩阵的Kronecker积满足结合律，即(A×B)×C=A×(B×C).

(3)设A₁与A₂为同阶矩阵，则

(A₁+A₂)×B=A₁×B+A₂×B,B×(A₁+A₂)=B×A₁+B×A₂

(4)(A×B)T=AT×BT,(A×B)#=A×B.

(5)设A=(a;)mxn,B=(b)xg,C=(c;)nxs,D=(d)qx,则

(A×B)(C×D)=(AC)×(BD)

矩阵的特殊乘积

(6)设A∈Cmxm与B∈C×n都是可逆矩阵，则A⊗B也可逆，且有(A⊗B)-¹=A¹×B-¹.

(7)设A∈Cm×m与B∈Cn×n都是酉矩阵(本章第5节会介绍酉矩阵),则A×B∈Cmnxmm也是酉矩阵.

证由定义1.7可直接证明性质(1)~(4),下面仅证明性质(5)~(7).

性质(5)证明：

性质(6)证明：由性质(5)可知

(A⊗B)(A-¹⊗B-¹)=(AA-¹)×(BB-¹)=Im×I=Im

故A×B可逆，且有

(A⊗B)-¹=A-¹×B-¹

性质(7)证明：由性质(4)和(5)可知

(A⊗B)(A×B)=(A⊗B)(A×B)=(AA)×(BB)=Im×I,=Im

(A⊗B)(A⊗B)=(A×B)(A⊗B)=(AA)×(BB)=I×I=Im故A⊗B为酉矩阵.

矩阵的特殊乘积

注矩阵的Hadamard积远比通常的矩阵乘法简单，且可乘条件是两个矩阵同型.

定理1.4矩阵的Hadamard积具有下列一些性质.

(1)AoB=BoA,k(AoB)=(kA)。B=Ao(kB).

(2)Ao(B+C)=AoB+AoC,Ao(B.C)=(AoB)。C.

(3)(A。B)T=AT。BT,(A。B)#=A。B.

定义1.8设A=(a)∈Cxn,B=(b)∈Cxn,称矩阵

为A和B的Hadamard积，也称Schur积，记为AoB.

矩阵的特殊乘积

Hadamard积

矩阵的特殊乘积

(4)若A与B都是对称矩阵，则A。B也对称矩阵；若A与B都是反对称矩阵，则A。B是对称矩阵；若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则A。B是反对称矩阵.

(5)设A,B∈Cm×n,又设D是m阶对角矩阵，而E是n阶对角矩阵，则

D(AoB)E=(DAE)。B=(DA)。(BE)=(AE)。(DB)=Ao(DBE)

(6)设A,B∈Cmxn,又记X=diag(x₁,x₂,…,x,),x=(x₁,x₂,…,xn)T,则(AXB¹);=((AoB)x);(i=1,2,…,m)

其中，等式左边是矩阵的第i个对角元素，等式右边是向量的第i个分量.

(7)设A,B,C∈Cmxn,则三重混合积(AoB)CT与(A。C)B对应的对角线元素相同，即

((A。B)C),=(A。C)B);(i=1,2,…,m)

证由定义1.8可直接证明以上性质.例如，性质(6)的证明如下：

设A=(a;;)mxn,B=(b;)mxn,则

矩阵的特殊乘积

定理1.5设A,B∈Cm×n,则rank(AoB)≤rank(A)rank(B).

证设rank(A)=r,rank(A)=r₂,则存在m阶可逆矩阵X和n阶可逆矩阵Y,使得

表明矩阵A可以写成r个秩为1的矩阵之和，其每个秩为1的矩阵可表示成列向量乘行向量的

形式.同理，对于矩阵B,存在u∈C和v;∈C,使.于是，利用Hadamard积的

记X-¹=(x₁,x₂,…,xm),Y-¹=(y₁,y₂,…,yn)T,其中x;