矩阵理论 课件 第1章第5节矩阵可对角化的条件.pptxVIP

矩阵可对角化的条件

1.5

矩阵可对角化的条件

相似对角化

定义1.13设A,B∈C×,若有可逆矩阵P,使得P-¹AP=B,则称矩阵A和B相似，记为

A~B,矩阵变换B=P-¹AP称为相似变换，P称为把A变成B的相似变换矩阵.特别地，若矩阵A和对角矩阵相似，则称A是可(相似)对角化的，也称A是单纯矩阵.

注相似是矩阵之间的一种重要的关系.相似矩阵具有下列定理中陈述的性质.

定理1.13设A,B,C∈C×n,f(λ)是一个多项式.

(1)自反性：A~A.

(2)对称性：若A~B,则B~A.

(3)传递性：若A~B,B~C,则A~C.

(4)若A~B,则rank(A)=rank(B).

(5)若A~B,则f(A)~f(B).

(6)若A~B,则det(λE-A)=det(λE-B),即A与B的特征多项式相同，从而特征值相同.

矩阵可对角化的条件

(7)若A~B,则detA=detB,tr(A)=tr(B).

证仅证明性质(5)和(6).设f(A)=agZ⁸+as_1λS-¹+…+a₁λ+ao.因为A~B,所以存在

可逆矩阵P,使得p-¹AP=B.于是

f(B)=a,B⁸+a_1B⁸-¹+…+a₁B+a₀E

=a(P-¹AP)⁸+a_(P-¹AP)s-¹+…+a₁(P-¹AP)+a₀E

=P-¹(a,A⁹+a_₁A⁸-¹+…+a₁A+a₀E)P=P-¹f(A)P

从而，f(A)~f(B).又有

det(λE-B)=det(λE-P-¹AP)=det(P-(λE-A)P)=det(λE-A)

注方阵A能否相似于一个对角矩阵?

定理1.14设A∈Cn×n,则A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.

证设存在可逆矩阵P和n阶对角矩阵A=diag(λ,22,…,λ),使得

则有AP=PA.

即

于是Aα;=λ,α;(i=1,2,…,n).说明A有n个线性无关的特征向量，即P的n个列向量.

将矩阵P按列分块为P=(a₁,a₂,…,αn),则AP=PA可写为

(Aα₁,Aα₂,…,Aα)=(λα₁,λ₂α₂,…,λαn)

矩阵可对角化的条件

矩阵可对角化的条件

反之，若A有n个线性无关的特征向量α₁,a₂,…,αn,对应的特征值分别为λ,22,…,λn,

则Aα,=λ,α,(i=1,2,…,n).记P=(a,a₂,…,αn),P可逆，并且

AP=A(a₁,a₂,…,αn)=(Aα₁,Aα₂,…,Aαn)=(λα₁,Z₂α₂,…,λαn)

故矩阵A可对角化.

即有

矩阵可对角化的条件

推论1.1如果n阶方阵A的n个特征值互不相同，则A可以对角化.

定理1.15n阶方阵A可对角化的充要条件是A的每个互不相同的特征值的代数重数与

几何重数相等.

证设A的所有不同的特征值为2,Zz,…,λ,其代数重数分别是n,n₂,…,n,,

充分性：假设λ的代数重数n;等于它的几何重数.由定理1.10可知，把属于λ,的线性无关的的特征向量合并后仍是线性无关的，共有n个，又由定理1.14可知，A可以对角化.

必要性：设A可对角化，即存在可逆矩阵P,使得

从而有P-¹(λE-A)P=λE-P-¹AP

=diag(0,…,0,2-λ2,…,2-λ2,…,λ-λ,…,2₁-λ)

上面的对角矩阵的后n-n个对角线元素非零，因此rank(λE-A)=n-n.故n₁=S₁.

同理可证n;=n-rank(λ,E-A)=s;(i=2,…,t).

解(1)矩阵A的特征多项式为

因此A有3个互异特征值，A可对角化.可求得对应特征值λ=-1,2=-2,λ₂=-3的

矩阵可对角化的条件

例1.8判断下列矩阵可否对角化，若可以对角化，求其相似变换矩阵和对角矩阵.

特征向量分别为

故相似变换矩阵,对角矩阵

2₃=5的特征向量P3分别为

故A可对角化.

可求得对应特征值2₁=λ₂=-1的两个线性无关的特征向量P1和P₂,以及对应特征值

矩阵可对角化的条件

(2)矩阵A的特征多项式为

使得P-¹AP=A.

因此特征值是λ=2₂=1,2₃=-2.对于二重特征值λ₁=λ₂=1,由

可知其几何重数为1,显然与代数重数不相等，故A不可对角化.

相似变