高等代数教案.docVIP

第六章向量空间

引言

从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射，它们是数学中根本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域．本章学习向量空间的根本概念和有限维向量空间的结构．

6.1向量空间的概念

教学目的通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的根本表述．

教学重点向量空间及其子空间的定义．

教学难点对6.1定义1的理解．

教学内容

第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的根本领实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间．

6.1.1定义公理·

定义1设F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a，b，c，…表示；V是一个非空集合，V中的元素用小写希腊字母?，β，γ,…表示．如果以下条件成立：

1°在V中定义了一个加法．对于??，β?V，V中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做?与β的和，记作?+β．

2°有一个“纯量乘法”．对于F中每一个数k与V中每一个元素?，有V中唯一确定的元素与它们对应，叫做k与?的积，记作k?．

3°上述加法和纯量乘法满足以下算律：

1)?+β=β+?；

2)(?+β)+γ=?+(β+γ)；

3)在V中存在一个元素，记作?，它具有以下性质：对于??∈V，都有?+?=?；

4)对于??∈V，在V中存在一个元素，使得+?=?；

5)k(?+β)=k?+kβ；

6)(k+l)?=k?+l?；

7)(kl)?=k(l?)；

8)1?=?．

这里??，β，γ∈V，?k，l∈F．

那么称V是F上的一个向量空间，其中V中的元素叫做向量，F中的元素叫做纯量．

例1在解析几何中，平面或空间中从一个定点出发的一切向量的集合关于向量的加法和实数与向量的乘法都作成实数域上的向量空间．前者用V2表示，后者用V3表示．

例2数域F上所有m×n矩阵所成的集合Fm?n关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法也作成F上的一个向量空间，叫做m×n全矩阵空间．

特别地，F上所有1×n矩阵所成的集合和所有n×1矩阵所成的集合分别作成F上向量空间，前者称为F上n维行空间，后者称为F上n维列空间．我们用同一个符号Fn来表示这两个向量空间(具体使用时请注意区分)．

例3复数域C可以看成实数域R上的向量空间．

类似地，Q、R可分别看作Q上的向量空间，又任意数域F总可以看成它自身上的向量空间．

例4数域F上所有一元多项式的集合F[x]关于多项式的加法和数与多项式的乘法作成F上的一个向量空间．

进而，n元多项式的集合F[x1，x2，…，xn]关于多项式的加法和数与多项式的乘法也作成F上的一个向量空间．

例5由于F[x1，…，xn]中两个m次齐次多项式的和是m次齐次多项式或零多项式，F中元素与m次齐次多项式的乘积是m次齐次多项式或零多项式．因此，F[x1，…，xn]中所有m次齐次多项式添上零屡次式组成的集合构成数域F上的一个向量空间(易见8条公理均成立)．

例6由于F[x1，…，xn]中两个对称多项式的和仍是对称多项式，F中元素与对称多项式的乘积仍是对称多项式．因此F[x1，…，xn]中所有对称多项式组成的集合构成数域F上的一个向量空间．

例7设X是任意一集合，F是任一数域，从X至F的每一个映射f叫做X上的一个(F值)函数．我们把X上的所有(F值)函数组成的集合记作FX．对于f，g∈FX，k∈F，在FX中规定：

(f+g)(x)=f(x)+g(x),?x∈X，(1)

(kf)(x)=k(f(x)),?x∈X．(2)

容易验证条件3°的1)－8)成立．因此FX是数域F上的一个向量空间，其中(1)式称为函数的加法，(2)式称为F的元素与函数的纯量乘法，FX的零元素是零函数0，即0(x)=0，?x∈X．

例8设X是实数域R的任一子集．由例7，X上的所有(实值)函数组成的集合RX按照函数的加法以及实数与函数的纯量乘法，构成实数域R上的一个向量空间．

例9设[a,b]是实数轴上的一个闭区间，[a,b]上的连续函数全体记作C[a,b]．从数学分析课程知道，[a,b]上的两个连续函数的和仍是连续函数，实数k与连续函数f的纯量乘积kf也是连续函数．因此，C[a,b]是实数域上的一个向量空间．

例10类似于例9，区间[a,b]上所有n次可微函数(1阶，2阶，…，n阶导数存在的函数)组成的集合是实数域上的一个向量空间，记作C(n)[a,b]．

例11考虑收敛于0的实无穷序列．设{an}，{bn}是两个这样

的序列．那么．设k是任意实数，那么

．容易验证，条件3°的1)－8)成立．因此，

所有收敛于0的实序列关于如上定义的加法和数与序列的乘法作成实数域R上的一