2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）.docxVIP

2．5直线与圆、圆与圆的位置关系

【知识点梳理】

知识点一：直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：

（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点．

2．直线与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．

有两组实数解时，直线与圆C相交；

有一组实数解时，直线与圆C相切；

无实数解时，直线与圆C相离．

（2）几何法：

由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离．

知识点诠释：

（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．

（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．

（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．

知识点二：圆的切线方程的求法

1．点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率

的乘积等于，即．

法二：圆心到直线的距离等于半径．

2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

知识点诠释：

因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

常见圆的切线方程：

（1）过圆上一点的切线方程是；

（2）过圆上一点的切线方程是

．

知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法

1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．

知识点四：圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系：

（1）圆与圆相交，有两个公共点；

（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；

（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．

2．圆与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解．

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离．

（2）几何法：

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．

当时，两圆相交；

当时，两圆外切；

当时，两圆外离；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含．

知识点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．

3．两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

4．两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

（3）两圆相交时，只有2条外公切线；

（4）两圆内切时，只有1条外公切线；

（5）两圆内含时，无公切线．

【题型归纳目录】

题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系

题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标

题型三：切线与切线长问题

题型四：弦长问题

题型五：判断圆与圆的位置关系

题型六：由圆的位置关系确定参数

题型七：公共弦与切点弦问题

题型八：公切线问题

题型九：圆中范围与最值问题

题型十：圆系问题

【典型例题】

题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系

例1．（2022·全国·高二课时练习）直线和圆的位置关系为（???????）

A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切

例2．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（）

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能

例3．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系为（???????）

A．相切 B．相交

C．相离 D．由的取值确定

例4．（2022·全国·高二专题练习）圆与直线的位置关系为（???????）

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

【方法技巧与总结】

直线与圆的位置关系判断方法

法一抓住直线与