高等代数矩阵的相抵合同相似模板.docVIP

莆田学院数学系

“高等代数选讲”课程论文

题目:矩阵相抵、协议、相同

部分相关这三种等价关系联络、差异和不变量

姓名:阮超英

学号:数学系级本科（1）班

年6月23日

矩阵相抵、协议、相同

部分相关这三种等价关系联络、差异和不变量

[摘要]矩阵相抵、协议、相同这三种等价关系之间既包含着联络,又蕴涵着差异,以及矩阵在各自关系下不变量。

[关键词]相抵;协议;相同;等价关系;不变量

首先介绍矩阵相抵、协议及相同概念引入及其定义以及等价关系证实。

1.1矩阵相抵

矩阵相抵是在矩阵初等变换基础上引入,故先了解一下初等变换下初等矩阵。

定义1由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵。

显然,初等矩阵是方阵,每个初等变换都有一个与之对应初等矩阵。

eq\o\ac(○,1)交换矩阵行与行位置

eq\o\ac(○,2)把矩阵行乘以一非零数（为数域中数）

eq\o\ac(○,3)把矩阵行倍加到行,有

一样能够得到与列变换对应初等矩阵,不难看出,初等矩阵是可逆,且逆矩阵还是初等矩阵。

定义2矩阵与相抵（记为或称为等价）是指对进行行和列有限次初等变换后可得到,亦即存在初等矩阵

显然,矩阵相抵是一个等价关系,它满足

对称性若与相抵,则与相抵;

因为由定义2,有:,

这么可得到:

反身性若和本身相抵;

因为:

传输性若和相抵,和相抵,则和相抵。

因为:

故:

而矩阵相抵一个关键方面就是矩阵相抵。

多项式,以下三种变换称为对“初等行变换”:

1．交换矩阵两行;

2．把矩阵某行乘以一非零数

3．把矩阵一行乘以一多项式加到另一行上去。

类似能够定义列初等变换。

定义3若,都是矩阵且经过初等变换后可变为,则称矩阵与相抵。

与数字矩阵一样,矩阵相抵关系是一个等价关系。即

1与本身相抵;

2若与相抵,则与相抵;

3若与相抵,与相抵,则与相抵。

矩阵协议

经过一个非退化线性替换,二次型还是变成二次型.不过,替换后二次型与原来二次型之间有什么关系,即找出替换后二次型矩阵与原二次型矩阵之间关系。设:

〈1〉

是一个二次型,作非退化线性替换〈2〉

我们得到一个二次型

现在来看矩阵与关系

把〈2〉带入〈1〉,有

易看出矩阵也是对称,实际上

由此,即得

这就是前后两个二次型矩阵关系,与之对应,我们引入

定义4数域上矩阵成为协议,假如有数域上可逆矩阵,使。

协议是矩阵之间一个关系,不难看出协议关系含有

1反身性

2对称性由即得

3传输性

因之,协议是一个矩阵之间等价关系,而且经过非退化线性替换,新二次型矩阵与原二次型矩阵是协议。

1.3矩阵相同

引入:

定理1设线性空间中线性变换在两组基

〈3〉

〈4〉

下矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉过渡矩阵是,于是

证实:已知

于是

由此即得

由此我们引进相同定义

定义5设,为数域上两个级方阵,假如能够找到数域上级可逆矩阵,使得,就说相同于。记作。

相同是矩阵之间一个关系,这种关系含有下面三个性质:

1反身性,这是因为

2对称性假如,那么。假如,那么有X使

,令,就有

所以。

3传输性假如,,那么。

已知有,使令

就有

2部分相关矩阵相抵、协议、相同充要条件及其证实

定理2矩阵与相抵当且仅当二者行列式因子组相同或者不变因子组相同。

证实:我们只需证行列式因子在任意一个初等变换下不变就能够了。

eq\o\ac(○,1)对第一个初等变换,变换矩阵任两行,显然阶子式最多改变一个符号,所以行列式因子不变。

eq\o\ac(○,2)对第二种初等变换,阶子式与变换后矩阵阶子式最多差一个非零常数,所以行列式因子也不改变。

eq\o\ac(○,3)对第三种初等变换,记变换后矩阵为,则与阶子式可能出现以下3种情形:

子式完全相同;

子式中一行