3.1 椭圆（原卷版）学习资料.docx

3．1椭圆

【知识点梳理】

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．

知识点诠释：

若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形．

知识点二：椭圆的标准方程

标准方程的推导：

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．

设（），为椭圆上任意一点，则有．

（2）点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

．

（3）代数方程

，

即：.

（4）化简方程

由可得，则得方程

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．

椭圆的标准方程：

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

知识点诠释：

（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；

（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

知识点三：求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：

（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．

（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．

知识点四：椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．

椭圆的对称性

对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

椭圆的离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．

②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．

知识点诠释：

椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；

（2），，；

（3），，；

知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义

椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．

可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．

和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．

知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点

，

，

轴

长轴长=，短轴长=

离心率

知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．

知识点七：直线与椭圆的位置关系

平面内点与椭圆的位置关系

椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，

若点在椭圆上，则有；

若点在椭圆内，则有；

若点在椭圆外，则