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4．2．1等差数列的概念
【题型归纳目录】
题型一：等差数列的判断
题型二：等差数列的通项公式及其应用
题型三：等差数列的证明
题型四：等差中项及应用
题型五：等差数列的实际应用
题型六：的应用
题型七：等差数列性质的应用
题型八：等差数列中对称设项法的应用
【知识点梳理】
知识点一、等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．
知识点诠释：
⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；
符号语言形式
对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．
知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．
等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．
知识点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．
②三个数，，成等差数列的充要条件是．
知识点二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
所以，
，
，
……
当n=1时，上式也成立
所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…
把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
所以．
（3）迭代法：
所以．
知识点诠释：
①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则．
证明：因为，
所以
所以
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．
知识点三、等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
①若，且，则，
特别地，当时．
②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．
③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．
④仍是等差数列．
⑤数列（为非零常数）也是等差数列．
【方法技巧与总结】
等差数列中对称设项法的应用
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；
2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；
3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．
【典型例题】
题型一：等差数列的判断
例1．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（????）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列
【答案】C
【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；
B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；
C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；
D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.
故选：C.
例2．（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（????）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a D．，，，
【答案】B
【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，
对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，
对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，
对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，
故选：B
例3．（2022·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“”的（????）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；
若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，
综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，
故选：C．
变式1．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；
②若，则数列是等差数列；
③若（b、c是常量），则数列是等差数列．
其中真命题有（????）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；
，不是常数，不满足等差数列的
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本人在医药行业摸爬滚打10年，做过实验室QC，仪器公司售后技术支持工程师，擅长解答实验室仪器问题，现为一家制药企业仪器管理。
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