4.2.1 等差数列的概念（解析版）.docxVIP

4．2．1等差数列的概念

【题型归纳目录】

题型一：等差数列的判断

题型二：等差数列的通项公式及其应用

题型三：等差数列的证明

题型四：等差中项及应用

题型五：等差数列的实际应用

题型六：的应用

题型七：等差数列性质的应用

题型八：等差数列中对称设项法的应用

【知识点梳理】

知识点一、等差数列的定义

文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．

知识点诠释：

⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；

符号语言形式

对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．

知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．

等差中项

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．

知识点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．

②三个数，，成等差数列的充要条件是．

知识点二、等差数列的通项公式

等差数列的通项公式

首相为，公差为的等差数列的通项公式为：，

推导过程：

（1）归纳法：

根据等差数列定义可得：，

所以，

，

，

……

当n=1时，上式也成立

所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）．

（2）叠加法：

根据等差数列定义，有：

，

，

，

…

把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，

所以．

（3）迭代法：

所以．

知识点诠释：

①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了．

②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．

等差数列通项公式的推广

已知等差数列中，第项为，公差为，则．

证明：因为，

所以

所以

由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况．

知识点三、等差数列的性质

等差数列中，公差为，则

①若，且，则，

特别地，当时．

②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．

③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．

④仍是等差数列．

⑤数列（为非零常数）也是等差数列．

【方法技巧与总结】

等差数列中对称设项法的应用

1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；

2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；

3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．

【典型例题】

题型一：等差数列的判断

例1．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（????）

A．数列，，，…，…为等差数列

B．数列，，，…，，…为等差数列

C．数列为等差数列

D．数列为等差数列

【答案】C

【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；

B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；

C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；

D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.

故选：C.

例2．（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（????）．

A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001

C．a，a，a，a D．，，，

【答案】B

【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，

对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，

对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，

对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，

故选：B

例3．（2022·全国·高二课时练习）“a，b，c成等差数列”是“”的（????）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；

若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，

综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，

故选：C．

变式1．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；

②若，则数列是等差数列；

③若（b、c是常量），则数列是等差数列．

其中真命题有（????）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；

，不是常数，不满足等差数列的