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4.2.1等差数列的概念
【题型归纳目录】
题型一:等差数列的判断
题型二:等差数列的通项公式及其应用
题型三:等差数列的证明
题型四:等差中项及应用
题型五:等差数列的实际应用
题型六:的应用
题型七:等差数列性质的应用
题型八:等差数列中对称设项法的应用
【知识点梳理】
知识点一、等差数列的定义
文字语言形式
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示.
知识点诠释:
⑴公差一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
⑵共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即公差);
符号语言形式
对于数列,若(,,为常数)或(,为常数),则此数列是等差数列,其中常数叫做等差数列的公差.
知识点诠释:定义中要求“同一个常数”,必须与无关.
等差中项
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项,即.
知识点诠释:
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数,的等差中项存在且唯一.
②三个数,,成等差数列的充要条件是.
知识点二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为,公差为的等差数列的通项公式为:,
推导过程:
(1)归纳法:
根据等差数列定义可得:,
所以,
,
,
……
当n=1时,上式也成立
所以归纳得出等差数列的通项公式为:().
(2)叠加法:
根据等差数列定义,有:
,
,
,
…
把这个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得,
所以.
(3)迭代法:
所以.
知识点诠释:
①通项公式由首项和公差完全确定,一旦一个等差数列的首项和公差确定,该等差数列就唯一确定了.
②通项公式中共涉及、、、四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中,第项为,公差为,则.
证明:因为,
所以
所以
由上可知,等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示,公式.可以看成是时的特殊情况.
知识点三、等差数列的性质
等差数列中,公差为,则
①若,且,则,
特别地,当时.
②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列,公差为.
③若数列也为等差数列,则,,(k,b为非零常数)也是等差数列.
④仍是等差数列.
⑤数列(为非零常数)也是等差数列.
【方法技巧与总结】
等差数列中对称设项法的应用
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:,,公差为;
2、三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:,,,公差为;
3、四个数成等差数列且知其和,常设成,,,,公差为.
【典型例题】
题型一:等差数列的判断
例1.(2022·陕西咸阳·高二期中(文))若数列为等差数列,则下列说法中错误的是(????)
A.数列,,,…,…为等差数列
B.数列,,,…,,…为等差数列
C.数列为等差数列
D.数列为等差数列
【答案】C
【解析】A选项:因为为等差数列,所以设(为常数),又,所以数列也为等差数列,故A正确;
B选项:,所以数列为等差数列,故B正确;
C选项:,不是常数,故不是等差数列,故C错;
D选项:,所以数列为等差数列,故D正确.
故选:C.
例2.(2022·全国·高二课时练习)下列数列中,不成等差数列的是(????).
A.2,5,8,11 B.1.1,1.01,1.001,1.0001
C.a,a,a,a D.,,,
【答案】B
【解析】对于A,因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数3,所以此数列是等差数列,所以A不合题意,
对于B,因为,,即,所以此数列不是等差数,所以B符合题意,
对于C,因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数0,所以此数列是等差数列,所以C不合题意,
对于D,数列,,,可表示为,,,,因为第2项起,后一项与前一项的差是同一个常数1,所以此数列是等差数列,所以D不合题意,
故选:B
例3.(2022·全国·高二课时练习)“a,b,c成等差数列”是“”的(????).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“a,b,c成等差数列”,则“”,即“a,b,c成等差数列”是“”的充分条件;
若“”,则“a,b,c成等差数列”,即“a,b,c成等差数列”是“”的必要条件,
综上可得:“a,b,c成等差数列”是“”的充要条件,
故选:C.
变式1.(2022·全国·高二课时练习)现有下列命题:①若,则数列是等差数列;
②若,则数列是等差数列;
③若(b、c是常量),则数列是等差数列.
其中真命题有(????).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】由,得,满足等差数列的定义,故①正确;
,不是常数,不满足等差数列的
本人在医药行业摸爬滚打10年,做过实验室QC,仪器公司售后技术支持工程师,擅长解答实验室仪器问题,现为一家制药企业仪器管理。
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