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4．2．2等差数列的前n项和公式
【题型归纳目录】
题型一：等差数列前项和的有关计算
题型二：等差数列前项和的比值问题
题型三：等差数列前项和的性质
题型四：等差数列前项和的最值问题
题型五：求数列的前项和
题型六：等差数列前n项和公式的实际应用
题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列
题型八：等差数列片段和的性质
题型九：等差数列的奇数项与偶数项和
【知识点梳理】
知识点一、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
因为
所以
由此得：
公式二：
证明：将代入可得：
知识点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一．
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．
知识点二、等差数列的前项和的有关性质
等差数列中，公差为，则
①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．
=2\*GB3②若项数为，则，，
③若项数为，则，，，，
知识点三、等差数列中的函数关系
等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数）
等差数列中，，令，则：
（，是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
=2\*GB3②当时，一次函数单调减，为递减数列．
等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：
（，是常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点．
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点．
=1\*GB3①当时有最小值
=2\*GB3②当时，有最大值
知识点诠释：
1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数．
2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件．
3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数．
4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件．
【方法技巧与总结】
1、等差数列前项和的最值
（1）在等差数列中，
当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定．
（2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值．
【典型例题】
题型一：等差数列前项和的有关计算
例1．（重庆市璧山来凤中学校九校2022届高三上学期联考模拟（二）数学试题）设等差数列的前项和为，若，则（????）
A．150 B．120 C．75 D．60
【答案】D
【解析】因为也成等差数列，故，同理
因为，所以，故
所以.
故选：D
例2．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（????）
A．77 B．88 C．99 D．110
【答案】B
【解析】，得，解得，
，得，解得，
故，
.
故选：B
例3．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）等差数列的前项和为，满足：，则（????）
A．72 B．75 C．60 D．100
【答案】B
【解析】由可得：
，
故选：B
变式1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）等差数列中，已知，，，则n为（????）
A．58 B．59 C．60 D．61
【答案】C
【解析】由是等差数列，，得
则
即，
故选：C.
变式2．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知等差数列的前3项和为27，，则（????）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由题意，，
解得，，
所以．
故选：C
【方法技巧与总结】
等差数列中的基本计算
（1）利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
（2）结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用．
题型二：等差数列前项和的比值问题
例4．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知分别是等差数列与的前项和，且，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，所以，
所以，
又因为分别是等差数列与的前项和，且，
所以,
故选：.
例5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
例6．（2022·全国·高三专题练习）设
本人在医药行业摸爬滚打10年，做过实验室QC，仪器公司售后技术支持工程师，擅长解答实验室仪器问题，现为一家制药企业仪器管理。
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