5.2 导数的运算（解析版）.docxVIP

5．2导数的运算

【题型归纳目录】

题型一：利用导数公式求函数的导数

题型二：求函数的和、差、积、商的导数

题型三：求复合函数的导数

题型四：利用导数求函数式中的参数

题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）

题型六：利用导数公式求切点坐标问题

题型七：与切线有关的综合问题

题型八：切线平行、垂直问题

题型九：最值问题

题型十：公切线问题

【知识点梳理】

知识点一：基本初等函数的导数公式

（1）（C为常数），

（2）（n为有理数），

（3），

（4），

（5），

（6），

（7），

（8），，这样的形式．

要点诠释：

1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．

2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．

特别地，．

3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．

4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．

5、指数函数的导数：，．

6、对数函数的导数：，．

有时也把记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

知识点二：函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：（）

要点诠释：

1、上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：，

推广：．

（ⅱ）积的导数：，

特别地：（c为常数）．

（ⅲ）商的导数：，

两函数商的求导法则的特例

，

当时，．

这是一个函数倒数的求导法则．

2、两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：，，注意差异，加以区分．

（2）注意：且．

3、求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．

知识点三：复合函数的求导法则

1、复合函数的概念

对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．

要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．

2、复合函数的导数

设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．

3、掌握复合函数的求导方法

（1）分层：将复合函数分出内层、外层．

（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到，

（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．

要点诠释：

1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．

2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．

【典型例题】

题型一：利用导数公式求函数的导数

例1．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

例2．（2022·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1);

(2);

(3)；

(4).

【解析】(1)解:因为，所以.

(2)解:因为，所以，即.

(3)解:因为，所以，即.

(4)解:因为，所以.

例3．（2022·湖南·高二课时练习）求下列函数在指定点处的导数．

(1)，；

(2)，．

【解析】(1)因为，所以，

所以.

(2)因为，所以，

所以.

变式1．（2022·江苏·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【解析】(1)由，得，

所以

(2)由，得，

所以

(3)由，得，

(4)由，得

【方法技巧与总结】

（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．

（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

题型二：求函数的和、差、积、商的导数

例4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））求下列函数的导数.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】

利用导数求导规则去求导即可

（1）由，可得

（2）由，可得

（3）由，

可得

（4）由，可得

例5．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【解析】（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

（6）

．

例6．（2022·全国·高二课时练习）设，，，…，，，试求．

【解析】，，，，

，，…，，可知周期为，

又，

∴．

变式2．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)．

【解析】（1）因为，

所以

，

即；

（2）因为，

则.

（3）因为，

所以.

变式3．（2