三角函数解题方法.docVIP

三角函数

例1：求的值

解：

例2：tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7且α、β∈〔0，π〕求2α-β的值。

分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否那么假设2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：tanα=tan[(α-β)+β]=，∴α∈〔0，〕

tanβ=-∴β∈〔π〕，∴2α-β∈〔-π，0〕

tan2(α-β)=

∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]==1所以2α-β=-

例3：tan2θ=-2，θ∈〔〕，求：的值。

解：原式=

∵tan2θ=-2,2θ∈(,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=2,x=1,那么r=3

∴cos2θ=,sinθ=

所以原式=

例4：化简：

解：∵tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

说明：这里实际上是运用的两角和〔差〕的正切公式tan(α+β)=变形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα·tanβ来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)·tan2α+tan(75°-α)·tan2α的值等等。

例5：，且，求cosα

解：∵sinα+sin3α=2sin2α·cosαcosα+cos3α=2cos2α·cosα

∴sin2αsinα=-4cosα·cos2α∵∴cosα≠0

∴2sin2α=-cos2α即3cos2α=1∴cosα=-

例6：5sinβ=sin(2α+β),求证

分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。

证明：∵5sinβ=sin(2α+β)

∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]

∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα

∴

例7：在ΔABC中，sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。

分析：由于三角形内角和为180°,所以求cosC的值即求-cos(A+B)的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=±4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。

方法一：∵sinA=∈∴A∈〔30°，45°〕∪〔135°，150°〕

又cosB=∴B∈(60°,90°)，此时假设A∈(135°,150°)

那么A+B180°不能构成三角形，A∈(30°,45°)

∴cosC=cos(180°-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=16/65

方法二:∵sinA=3/5,∴cosA=±4/5cosB=5/13∴sinB=12/13

⑴假设cosA=-4/5,那么sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-33/650不合题意

⑵假设cosA=4/5,那么cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述：cosC=16/65

例8：求函数f(x)=的最大值。

分析：此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f(x)的定义域x∈[-2,2]，即x/2∈[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ∈[0,π],这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。

解：∵4-x2≥0∴-2≤x≤2,令x=2cosθθ∈[0,π]

那么f(x)=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=sin(θ+φ)-2

其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2≤θ+φ≤π+arctan1/2

∴sin(θ+ф)的最大值为1

当θ+φ=π/2即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立

∴f(x)≤-2即f(x)的最大值为-2

【每周一练】

一、选择题：

1、假设tan(α+β)=2/5tan(β-π/4)那么tan(α+π/4)的值为〔