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专题03导数的综合问题
【题型归纳目录】
题型1:构造函数解不等式问题
题型2:证明不等式
题型3:恒成立问题
题型4:能成立问题
题型5:零点问题
题型6:方程的根问题
题型7:双变量问题问题
题型8:实际应用问题
题型9:极值点偏移问题
【考点预测】
1、恒成立问题
(1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
不等式在区间D上恒成立;
(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则
不等式在区间D上恒成立.
不等式在区间D上恒成立.
(3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
不等式在区间D上有解;
(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解问题有以下结论:
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
(5)对于任意的,总存在,使得;
(6)对于任意的,总存在,使得;
(7)若存在,对于任意的,使得;
(8)若存在,对于任意的,使得;
(9)对于任意的,使得;
(10)对于任意的,使得;
(11)若存在,总存在,使得
(12)若存在,总存在,使得.
2、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往.如下图所示.
图1极值点不偏移图2极值点偏移
极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏.
3、破解双参数不等式的方法:
一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式;
二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
4、函数零点问题的常见题型:判断函数是否存在零点或者求零点的个数;根据含参函数零点情况,求参数的值或取值范围.
求解步骤:
第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题;
第二步:利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图像;
第三步:结合图像判断零点或根据零点分析参数.
5、利用导数证明不等式问题,方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
(4)对数单身狗,指数找基友
(5)凹凸反转,转化为最值问题
(6)同构变形
【典例例题】
题型1:构造函数解不等式问题
例1.(2022·山东·宁津县第一中学高二期末)已知是函数的导数,且,当时,,则不等式的解集是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则,
因为当时,,所以当时,,
即在上单调递增,
因为,所以为偶函数,则也是偶函数,所以在上单调递减.
因为,所以,
即,
则,解得,
故选:D.
例2.(2022·河北·石家庄二中高二期末)已知定义域为的函数满足,且当时,则不等式的解集为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得关于成中心对称.
令,可得
当时,则在上单调递增.
由关于成中心对称且,故在上单调递增
由,则,或
解得,或,故
故选:A
例3.(2022·湖南·新邵县教研室高二期末)设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设,则,
时,,递增,
又是奇函数,所以,从而,
由得,
,
,所以是奇函数,
所以在时也是增函数,,
所以由得,
综上,不等式的解为.
故选:D.
变式1.(2022·河南驻马店·高二期末(理))已知定义在R上的偶函数满足,,若,则关于x的不等式的解集为(????)
A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(-∞,3) D.(3,+∞)
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数满足,故,故,即,所以,即的周期为3.又,故,即.因为,即,故构造函数,则,且.综上有在R上单调递增,且.又即,,所以,解得
故选:A
变式2.(2022·陕西渭南·高二期末(理))已知定义在上的函数的导函数为,满足,若函数的图像关于直线对称,且,
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本人在医药行业摸爬滚打10年,做过实验室QC,仪器公司售后技术支持工程师,擅长解答实验室仪器问题,现为一家制药企业仪器管理。
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