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专题03导数的综合问题

【题型归纳目录】

题型1:构造函数解不等式问题

题型2:证明不等式

题型3:恒成立问题

题型4:能成立问题

题型5:零点问题

题型6:方程的根问题

题型7:双变量问题问题

题型8:实际应用问题

题型9:极值点偏移问题

【考点预测】

1、恒成立问题

(1)若函数在区间D上存在最小值和最大值,则

不等式在区间D上恒成立;

不等式在区间D上恒成立;

不等式在区间D上恒成立;

不等式在区间D上恒成立;

(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值,且值域为,则

不等式在区间D上恒成立.

不等式在区间D上恒成立.

(3)若函数在区间D上存在最小值和最大值,即,则对不等式有解问题有以下结论:

不等式在区间D上有解;

不等式在区间D上有解;

不等式在区间D上有解;

不等式在区间D上有解;

(4)若函数在区间D上不存在最大(小)值,如值域为,则对不等式有解问题有以下结论:

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

(5)对于任意的,总存在,使得;

(6)对于任意的,总存在,使得;

(7)若存在,对于任意的,使得;

(8)若存在,对于任意的,使得;

(9)对于任意的,使得;

(10)对于任意的,使得;

(11)若存在,总存在,使得

(12)若存在,总存在,使得.

2、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值,且函数与直线交于两点,则的中点为,而往往.如下图所示.

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义:对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2)若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏;(3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏.

3、破解双参数不等式的方法:

一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式;

二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;

三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.

4、函数零点问题的常见题型:判断函数是否存在零点或者求零点的个数;根据含参函数零点情况,求参数的值或取值范围.

求解步骤:

第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题;

第二步:利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图像;

第三步:结合图像判断零点或根据零点分析参数.

5、利用导数证明不等式问题,方法如下:

(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;

(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;

(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗,指数找基友

(5)凹凸反转,转化为最值问题

(6)同构变形

【典例例题】

题型1:构造函数解不等式问题

例1.(2022·山东·宁津县第一中学高二期末)已知是函数的导数,且,当时,,则不等式的解集是(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设,则,

因为当时,,所以当时,,

即在上单调递增,

因为,所以为偶函数,则也是偶函数,所以在上单调递减.

因为,所以,

即,

则,解得,

故选:D.

例2.(2022·河北·石家庄二中高二期末)已知定义域为的函数满足,且当时,则不等式的解集为(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由得关于成中心对称.

令,可得

当时,则在上单调递增.

由关于成中心对称且,故在上单调递增

由,则,或

解得,或,故

故选:A

例3.(2022·湖南·新邵县教研室高二期末)设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是(????)

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】设,则,

时,,递增,

又是奇函数,所以,从而,

由得,

,所以是奇函数,

所以在时也是增函数,,

所以由得,

综上,不等式的解为.

故选:D.

变式1.(2022·河南驻马店·高二期末(理))已知定义在R上的偶函数满足,,若,则关于x的不等式的解集为(????)

A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(-∞,3) D.(3,+∞)

【答案】A

【解析】因为定义在R上的偶函数满足,故,故,即,所以,即的周期为3.又,故,即.因为,即,故构造函数,则,且.综上有在R上单调递增,且.又即,,所以,解得

故选:A

变式2.(2022·陕西渭南·高二期末(理))已知定义在上的函数的导函数为,满足,若函数的图像关于直线对称,且,

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