专题03 导数的综合问题（解析版）.docxVIP

专题03导数的综合问题

【题型归纳目录】

题型1：构造函数解不等式问题

题型2：证明不等式

题型3：恒成立问题

题型4：能成立问题

题型5：零点问题

题型6：方程的根问题

题型7：双变量问题问题

题型8：实际应用问题

题型9：极值点偏移问题

【考点预测】

1、恒成立问题

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

2、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．

3、破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．

4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．

5、利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

【典例例题】

题型1：构造函数解不等式问题

例1．（2022·山东·宁津县第一中学高二期末）已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

因为当时，，所以当时，，

即在上单调递增，

因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减.

因为,所以,

即,

则，解得，

故选：D.

例2．（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为的函数满足，且当时，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得关于成中心对称．

令，可得

当时，则在上单调递增.

由关于成中心对称且，故在上单调递增

由，则，或

解得，或，故

故选：A

例3．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

时，，递增，

又是奇函数，所以，从而，

由得，

，

，所以是奇函数，

所以在时也是增函数，，

所以由得，

综上，不等式的解为．

故选：D．

变式1．（2022·河南驻马店·高二期末（理））已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（????）

A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）

【答案】A

【解析】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得

故选：A

变式2．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，