2025年春北师版数学九年级下册 2.1 二次函数 教案.docx

2.1二次函数

教学内容

2.1二次函数

课时

1

核心素养目标

1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验；

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系；

3.通过实际情境让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的核型思想.

知识目标

理解、掌握二次函数的概念和一般形式；

2．会利用二次函数的概念解决问题；

3．列二次函数表达式解决实际问题．

教学重点

对二次函数概念的理解.

教学难点

由实际问题确定函数解析式.

教学准备

课件

教学过程

主要师生活动

设计意图

一、情境导入

二、探究新知

当堂练习，巩固所学

创设情境，导入新知

1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x是自变量)

(4)y=kx+1；(5)y2=x；(6)y=2x+1.

师生活动：教师提问，学生积极举手发言，预测学生能正确回答这些问题.

小组合作，探究概念和性质

知识点一：二次函数的定义

问题1某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

师生活动：

这是一个开放性问题，只要学生的回答有道理就定予以肯定，如白变量有瞪子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等，在学生充分回

答的基础上，引导学生讨论问题(2).

(100+x)棵，(600-5x)个，

y=(600-5x)(100+x).

师提问：

这个关系式是函数关系式吗？

预设：对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.

做一做

银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.

学生活动：

学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑

板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注

意的问题.

想一想

(1)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗?

师生活动：学生小组讨论，小组代表发言汇报讨论结果：

(1)y=x(20-x)=-x2+20x

已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?

师生活动：

引导学生画出图形，先列出这个矩形的面积与其一边长的表达式，当面积是100cm2，75cm2时，代入表达式，通过求解一元二次方程得出边长.

预设：

(2)设矩形的其中一边长为x，面积为S.

S=x(20-x)=-x2+20x

当S=100时，-x2+20x=100.解得x=10.

当S=75时，-x2+20x=75.解得x1=5，x2=15.

合作探究

师提问：问题1~3中函数关系式有什么共同点?

y=-5x2+100x+60000

y=100x2+200x+100

y=-x2+20x

师生活动：

同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.

师提示：类比一次函数y=kx+b(k≠0)的特征.

然后一起归纳总结二次函数的定义.

知识要点

二次函数的定义：

一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.

a为二次项系数，ax2叫做二次项；

b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.

师生活动：

合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质，

并理解.

师提问：

同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？

典例精析

例1下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x是自变量)

①y=(x+3)2?x2；②y=3?2x2；

③y=x2；④y=eq\f