辽宁大学《离散数学》课件-第十章A.pptxVIP

辽宁大学

离散数学

第十章;本章说明;10.1二元运算及其性质

10.2代数系统

本章小结

作业;10.1二元运算及其性质;（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减

法和除法不是。

（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算

，而除法不是。

（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加

法、减法不是。

（4）设S＝{a1,a2,…,an}，ai?aj=ai为S上二元运算。;例10.1;一元运算;（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补

运算是P(S)上的一元运算。

（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，A?SS，

求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。

（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置

矩阵是Mn(R)上的一元运算。

;可以用?、?、·、?、?、?等符号表示二元或一元运算，称为算符。

设f:S×S→S是S上的二元运算?，对任意的x,y∈S，如果x与y的运算结果为z，即f(x,y)＝z，可以利用算符?简记为

x?y=z。

对一元运算?，x的运算结果记作?x。

例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算?：

?x,y∈R，x?y=x。

那么3?4=3，0.5?(?3)=0.5。;函数的解析公式

运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）;;例10.5设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算?如下：

x?y＝(xy)mod5，?x,y∈S

求运算?的运算表。;定义10.3设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有x?y=y?x，则称运算?在S上满足交换律。

定义10.4设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有(x?y)?z=x?(y?z)，则称运算?在S上满足结合律。

说明：若+适合结合律，则有(x+y)+(u+v)＝x+y+u+v。

定义10.5设?为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有x?x=x，则称运算?在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足x?x=x，则称x为运算?的幂等元。

举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。;例题;定义10.6设?和?为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有

x?(y?z)＝(x?y)?(x?z) （左分配律）

(y?z)?x＝(y?x)?(z?x) （右分配律）

则称运算?对运算?满足分配律。

说明：若*对?运算分配律成立，则*对?运算广义分配律也成立。

x?(y1?y2?…?yn)＝(x?y1)?(x?y2)?…?(x?yn)

(y1?y2?…?yn)?x＝(y1?x)?(y2?x)?…?(yn?x)

定义10.7设?和?为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y∈S，都有

x?(x?y)＝x

x?(x?y)＝x

则称运算?和?满足吸收律。; Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n?2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|?2。;定义10.8设?为S上的二元运算，

如果存在元素el（或er）?S，使得对任意x∈S都有

el?x=x(或x?er=x)

则称el(或er)是S中关于?运算的一个左单位元(或右单位元)。

若e∈S关于?运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于?运算的单位元。单位元也叫做幺元。;二元运算中的特异元素—零元;二元运算中的特异元素—逆元;特异元素的实例;定理10.1;定理10.2;定理10.3;定理10.4;消去律;例10.6;例10.6;例10.6;例10.7;10.2代数系统;集合（规定了参与运算的元素）

运算（只讨论有限个二元和一元运算）

代数常数

在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。

有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。

例如：代数系统Z,+,0。;列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）

例如Z,+,0，P(S),∪,∩,?,S

列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）

例如Z,+，P(S),∪,∩

用集合名称简单标记代数系统

例如在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上