专题04 指数与对数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）（原卷版）.docx

专题04指数与对数

（一）根式

(1)n次方根的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))

(2)根式的性质

①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．

②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))

（二）有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．

（三）对数的概念

如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

提醒：指数式与对数式的关系

（四）对数的性质、换底公式与运算性质

1．对数的性质：

①loga1＝0；②aeq\s\up12(logaN)＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

2．换底公式：

logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

3．换底公式的三个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)；

(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；

(3)logab·logbc·logcd＝logad.

4．对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

题型一根式的化简与求值

【典例1】（2021·江苏·高一专题练习）化简（????）

A． B． C．2 D．

【典例2】（2021·江苏·高一专题练习）下列各式中成立的一项（????）

A． B．

C． D．

【典例3】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________?

【规律方法】

1.根式化简或求值的注意点

解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

2．对eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的进一步认识

(1)对(eq\r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq\r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．

(2)对eq\r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?a≥0?,－a?a＜0?)).

(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．

题型二指数幂的化简与求值

【典例4】（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，，则（?????）

A． B． C． D．

【典例5】（2021·江苏·高一专题练习）已知，则不可能满足的关系是（????）

A． B．

C． D．

【典例6】（2020·江苏镇江·高一期中）（1）求值：；

（2）已知，求值：.

【特别提醒】

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

题型三对数的概念与性质

【典例7】（2021·天津高考真题）若，则（）

A． B． C．1